Вопрос 50 Производные высших порядков

  Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

.   Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) илипроизводной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

Пример.    

  Очень удобно пользоваться также обозначением

 ,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.   Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Вопрос 51

Теорема 6. (производная логарифмической функции) 

Доказательство

Вначале докажем теорему для функции y = ln x. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = ln x получит приращение 

Воспользовавшись вторым замечательным пределом, свойствами предела функции и свойствами логарифмической функции, получаем

Теперь, так как   то, вынося постоянную за знак производной, получаем

Теорема доказана.

Теорема 7. (производная степенной функции) 

Доказательство

Так как  , то дифференцируя это равенство, получаем

Теорема доказана.

Теорема 8. (производная показательной функции) 

Доказательство

Так как  , то, дифференцируя это равенство, получаем

Теорема доказана.

Теорема 9. (производные тригонометрических функций)

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = sin x получит приращение

Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем

Утверждение 1) доказано. Утверждение 2) доказывается аналогично, заметим только, что приращение функции y = cos x можно записать так:

Для доказательства утверждения 3) используем утверждения 1), 2) данной теоремы и теорему 3. Имеемs

Утверждение 3) доказано. Утверждение 4) доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Теорема 10. (производные обратных тригонометрических функций)

Доказательство

Если y = arcsin x, то x = sin y. Получаем  . Тогда   и утверждение 1) доказано. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

Теорема доказана.

(таблица основных производных - продолжение)

Вопрос 52 и 53

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ 

Теорема Ферма.  Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.  

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.  Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что   

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке Спараллельна хорде АВ.   

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.  

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];  

2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  

3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  

то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство 

 

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что угол касательной к графику функции, дифференцируемой на отрезке, хотя бы в одной точке равен углу секущей, соединяющей концы этого графика.

Следствие

Функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него с ограниченной производной, удовлетворяет условию Липшица. Более точно пусть   и   Тогда

.