10) Стационарная диффузия
Стационарное уравнение
В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:
При
,
не зависящем от 
,
стационарное уравнение диффузии
становится уравнением
Пуассона (неоднородное), или уравнением
Лапласа (однородное, то есть при 
):
11) Нестационарное диффузия. Термодинамический метод описания явлений.
Термодинамическая система
Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствиедиффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.
Одномерный случай
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) уравнение имеет вид:
При постоянном приобретает вид:
где 
—
концентрация диффундирующего вещества,
a 
—
функция, описывающая источники вещества
(тепла).
Трёхмерный случай
В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:
где 
— оператор
набла, а 
—
скалярное произведение. Оно также может
быть записано как
а при постоянном приобретает вид:
где 
— оператор
Лапласа.
n-мерный случай
-мерный
случай — прямое обобщение приведенного
выше, только под оператором набла,
градиентом и дивергенцией, а также под
оператором Лапласа надо понимать
-мерные
версии соответствующих операторов:
Это касается
и двумерного случая 
.
Мотивировка
A.
Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):
(одномерный
случай),
(для
любой размерности),
в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):
(одномерный
случай),
(для
любой размерности),
с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).
Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
B.
Кроме того,
оно естественно возникает как непрерывный
предел аналогичного разностного
уравнения, возникающего в свою очередь
при рассмотрении задачи о случайном
блуждании на дискретной решётке
(одномерной или
-мерной).
(Это простейшая модель; в более сложных
моделях случайных блужданий уравнение
диффузии также возникает в непрерывном
пределе). Простейшей интерпретацией
функции 
в
этом случае служит количество (или
концентрация) частиц в данной точке
(или вблизи неё), причём каждая частица
движется независимо от остальных без
памяти (инерции) своего прошлого (в
несколько более сложном случае — с
ограниченной по времени памятью).
Решение
В одномерном
случае фундаментальное решение однородного
уравнения с постоянным — не зависящем
от 
и 
—
(при
начальном условии, выражаемом дельта-функцией 
и
граничном условии 
)
есть
В этом
случае 
можно
интерпретировать как плотность
вероятности того, что одна частица,
находившаяся в начальный момент времени
в исходном пункте, через время
перейдёт
в пункт с координатой
.
То же самое — с точностью до множителя,
равного количеству диффундирующих
частиц — относится к их концентрации,
при условии отсутствия или пренебрежимости
взаимодействия диффундирующих частиц
между собой. Тогда (при таких начальных
условиях) средний квадрат удаления
диффундирующих частиц (или соответствующая
характеристика распределения температуры)
от начальной точки
В случае
произвольного начального распределения 
общее
решение уравнения диффузии представляется
в интегральном виде как свёртка:
Физические
замечания
Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).
Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.
Термодинамический метод описания явлений.
Для изучения тепловых процессов в естествознании сформировался Термодинамический метод исследования. Он заключается в том, что состояние термодинамической системы задается Термодинамическими параметрами(параметрами системы), характеризующими ее свойства. В качестве таковых обычно выбирают АбсолютнуюТемпературу (температуру по шкале Кельвина – Т), Давление (Р), Молярный объем (объем одного моля вещества –VМ). Параметры связаны друг с другом, поэтому состояние системы можно представить в виде уравнения. Например, для идеального газа массой в один моль эту связь выражает уравнение Менделеева-Клапейрона:
PVМ = RT
Где R = 8,314 Дж/моль * К – универсальная газовая постоянная.
Термодинамика содержит два раздела: равновесная и неравновесная термодинамика. Равновесная термодинамикаизучает процессы в системах, находящихся в равновесном состоянии, а также Процессы, протекающие при нарушении и восстановлении равновесия (например, такие явления, как теплопроводность или диффузия). Равновесное состояниесистемы – состояние, в котором ее параметры при неизменных внешних условиях остаются постоянными сколь угодно долго и одинаковы во всех ее частях. Неравновесная термодинамика описывает явления в закрытых и открытых системах.
Термодинамический метод устанавливает связи между макроскопическими свойствами тел, рассматривая эти свойства как бы снаружи, не вникая в структуру вещества. Он изучает общие закономерности передачи и превращения энергии. Основу термодинамики составляют два фундаментальных закона: первое и второе начала термодинамики, которые являются итогом обобщения практического опыта человечества, поэтому он успешно применяется во всех отраслях естествознания (химии, биологии и др.). Однако, с другой стороны, термодинамический метод ограничен, так как не дает информации о механизме явлений.
Термодинамическая система
Термодинамическая система - совокупность физических тел, которые могут: - энергетически взаимодействовать между собой и с другими телами; а также - обмениваться с ними веществом.
Термодинамическая система: - состоит из большого количества частиц; и - подчиняется в своем поведении статистическим закономерностям, проявляющимся на всей совокупности частиц.
Для термодинамических систем выполняются законы термодинамики