4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды.

Сформулировать определения:

1) Функциональный ряд. Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  . Выражение

 (1) называется функциональным рядом относительно переменной х.

2) Область сходимости функционального ряда. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда.

3) Сумма функционального ряда. Если значение х₀ переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда (1), то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке х =x₀:

u₁(x₀) + u₂(x₀) + ... + u₂(x₀) + u_n(x₀) + ... =S (x₀).

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения x₀ переменной х, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной х. Областью определения суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда.

4) Равномерно сходящийся функциональный ряд. Функциональный ряд   называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого числа   > 0 можно указать такое целое число N( ) > 0, зависящее только от e и не зависящее от х, что при всех n > N( ) неравенство   выполняется для всех х из области Х.

5) Степенной ряд. Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

6) Радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

7) Ряд Тейлора.

8) Ряд Маклорена. Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Сформулировать теоремы и свойства:

1) Признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости.

2) Свойства равномерно сходящихся рядов. 1. Сумма S(x) равномерно сходящегося ряда   в области Х, где u_n(x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х.

2. Равномерно сходящийся ряд  , где u_n(x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. (26)

3. Если  ряд 

  ,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные  , сходится в области C и его сумма равна S(x), а ряд из производных   сходится в этой области равномерно, то производная суммы ряда  равна сумме ряда из производных:

. (27)

Коротко эту теорему формулируют так:

Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда (27), сходится равномерно, то исходный ряд (24) можно почленно дифференцировать.

Отметим: здесь не предполагаются равномерная сходимость исходного ряда, а также дифференцируемость его суммы; они следуют из условий теоремы. Однако проверка равномерной сходимости ряда   является обязательной; при невыполнении этого теорема может потерять смысл (т.е. оказаться неприменимой).