8) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть   - частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  , а   - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  . Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка   имеет следующий вид: 

9) Правило решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

- общий вид. Записываем характеристическое уравнение k² + p ⋅ k + q = 0.

1. Находим корни характеристического уравнения k₁ и k₂.

2. В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде

   • , если  ;

   • , если  ;

   • , если  .

10) Правило решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

1.  , где P_m(x)–  многочлен степени m .Тогда частное решение  ДУ (1) ищут в виде, похожем на  f (х) (говорят: по виду правой части):  , где r показывает, сколько раз a встречается среди корней характеристического уравнения.

В этом случае  будет линейно независимым решением по отношению к y₁, y₂, … , y_n–  решениям однородного ДУ. Q_m(x)–  многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами, например, при m  = 0,  f (х) =   Q₀(x) = A₁, где A₁–  новая константа, требующая определения. При m  = 1, f (х) =   Q₁(x) = (A₁x + B₁), где A₁ = ?, B₁ = ? и т.д. Неопределённые коэффициенты находят методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях ДУ, то есть решением системы линейных уравнений (сравните метод неопределённых коэффициентов при интегрировании рациональных дробей).

2.  . В этом случае частное решение   ищут в виде:  , где r показывает, сколько раз комплексное число (a  i b ) встречается среди корней характеристического уравнения. Q_m(x), N_m(x)–  многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами, m = max (m₁, m₂).

2. Числовые ряды. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

1) Числовой ряд. это сумма членов числовой последовательности вида  .

2) Частичная сумма ряда.– это сумма вида  , где n – некоторое натуральное число.   называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

3) Сумма ряда. Суммой сходящегося числового ряда   называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,  .

4) Сходящийся и расходящийся числовой ряд. Числовой ряд   называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм  . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд   называется расходящимся.

5) Остаток ряда. Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов называется n-м остатком ряда. Обозначается

1) Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд   сходится, то предел его k-ого члена равен нулю:  ,если же это условие не выполняется, то ряд расходится.

2) Критерий Коши сходимости числового ряда.(НАТАША П) ряд сходится, если существует конечный предел последовательности {Sn} его частичных сумм: S=lim _n→∞ Sn

3) Критерий сходимости ряда с положительными членами.

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены верху, т. е должно существовать такое число М, что для любого n выполняется неравенство Sn≤М

4) I критерий сравнения.

Если начиная с некоторого номера N для всех n>N выполняется неравенство a_n≤b_n, то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А следует расходимость ряда В

5) II(предельный) признак сравнения.

если существует конечный предел lim_n→∞( a_n/b_n)=k≠0, то ряды А и В либо оба сходятся либо оба расходятся

6) Признак сходимости Даламбера.

Пусть дан положительный ряд ∑a_n и существует конечный предел lim_n→∞( a_n+1)/ a_n=Д. Тогда если Д<1,то данный ряд сходится,если Д>1, то-расходится,если Д=1,то ряд может сходиться или расходиться. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов

7) Радикальный признак Коши.

Пусть ∑a_n – положительный числовой ряд (a_n>0) и существует конечный предел limⁿ√ a_n=K, тогда если К<1,то данный ряд сходится, если К>1, то расходится, если К=1, то то ряд может сходиться или расходиться. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов

8) Интегральный признак Коши.

Пусть ∑ a_n-ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1,+∞) функция f(x),такая что f(n)= a_n, n=1,2,.. тогда ряд ∑ a_n и несобственный интеграл ∫ f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

3. РЯДЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИОМСТЬ.

Сформулировать определения:

1) Знакочередующийся ряд.

Ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Таким образом з/ч ряд-это ряд вида:a₁- a₂ +a_3- a_4+…+(-1)ⁿ⁺¹ a_{n +…}

2) Знакопеременный ряд.

Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является знакопеременным

3) Абсолютно и условно сходящийся ряд.

Пусть дан знакопеременный ∑a_n ряд, где a_n – произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд ∑│a_n│,составленный из абсолютных величин его членов сходится, то данный ряд ∑a_n также сходится. В этом случае знакопеременный ряд ∑a_n называется абсолютно сходящимся.

Если же ряд ∑a_n сходится, а ряд ∑│a_n│расходится, то данный ряд ∑a_n называется условно сходящимся

Сформулировать теоремы и свойства:

1) Теорема Лейбница.(ВАСЯ) Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится. Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2. 

2) Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.  Знакопеременные ряды-ряды, у которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Наряду со знакопеременным рядом  будем рассматривать ряд, составленный из абсолютных величин Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если сходится ряд  , то сходится и ряд