ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Сформулировать определения:

1) Дифференциальное уравнение первого порядка.(Я)

Уравнение F(x, y, y ') = 0, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y'(x) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

F(x, y, y ') = 0 или y' = ƒ(x,y).

2) Интегральная кривая.

Решением(интегралом) дифференциального уравнения первого порядка является любая функция y = ϕ(x), которая при подстановке обращает его в верное тождество.

Интегральная кривая - график решения дифференциального уравнения(y = ϕ(x)).

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

3) Частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Частное решение(частный интеграл) дифференциального уравнения первого порядка называется решение общего интеграла при конкретном значении С. Частное решение находится, если задано начальное условие y(x₀) = y₀.

Каждому частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через точку x₀,y₀.

4) Общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = ϕ(x, C), где С - произвольная постоянная.

5) Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

Общее решение, записанное в неявном виде: Ф(x,y,C) = 0 - общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

6) Задача Коши.

Задача Коши - нахождение частного решения или частного интеграла соответствующего заданному начальному условию.

7) Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах называется уравнение вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с частными производными, что справедливо выражение du(x,y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения: u(x,y) = C.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: dQ/dx = dP/dy.

8) Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.(маша)

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

   (7)

Подстановка  ;  ;  , где   преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

  ,

  ,

  .

Замечание. Функция   называется однородной степени  , если  , где   - некоторая константа. Например, функция    является однородной функцией степени два, поскольку

.

А функция   является однородной функцией нулевой степени однородности, так как

  .

Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как

  ,

9) Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

10) Линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

обыкновенное - уравнение вида 

где x(t) - искомая функция, a p(t), q(t).и r(t) - заданные функции, непрерывные на нек-ром промежутке (a, b). Для любых действительных чисел   существует единственное решение x(t).уравнения (1) с начальными условиями  причем x(t).определено для всех 

11) Характеристическое уравнение.

Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c постоянными коэффициентами

р₀у⁽ⁿ⁾ + p₁y^(n-1) + … + p_ny = 0,

то  алгебраическое уравнение

p₀λⁿ + p₁λ^n-1 + … + p_n = 0

называется его характеристическим уравнением.

Сформулировать теоремы и свойства:

1. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

2. Нормальная система в векторных обозначениях примет вид

3. 

4. где  .

5. Определение. Вектор-функция   называется решением нормальной системы (1) на промежутке  , если:

6. 1.

7. 2.

8. 3.

9. Рассмотрим начальное условие

10. 

11. Точка (x₀,y₀) называется начальной точкой, а ее координаты x₀,y₀ называются начальными данными.

12. Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.

14. Система уравнений вида

15. 

16. где  , назыается системой интегральных уравнений.

17. Вектор-функция   называется решением на промежутке   системы (3), если:

18. 1.

19. 2.

20. 3.

21. Лемма об эквивалентности. Вектор-функция   - решение задачи Коши (1) при условии (2) тогда и только тогда, когда   решение системы интегральных уравнений (3).

22. 

23. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

24. Пусть вектор-функция   удовлетворяет на каждом компакте областиG условию Липшица

25. 

26. Тогда:

27. 1) найдется такое δ > 0, что при | x − x₀ | решение задачи Коши (1) при условии (2) существует,

28. 2)решение задачи Коши единственно

30. В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности решения системы интегральных уравнений (3).

31. A)Существование

32. Поскольку   и G - открытое множество, то   что замкнутый цилиндр   принадлежит G. В силу того, что цилиндр G_pq компакт то

33. 

34. Будем строить решение системы интегральных уравнений (3) методом приближений Пикара при | x₀ − x | < δ, где  . Определим последовательные приближения следующим рекурентным образом при  :

35. 

36. ясно, что каждая y_i(x) непрерывна при (x,y), и что 

37. 

38. Как известно из курса анализа, равномерная сходимость функционального ряда   эквивалентна равномерной сходимости ряда вида

39. 

40. докажем оценку

41. 

42. 

43. 

44. По теореме Вейршрасса получем, что

45. 

46. и

47. 

48. Единственность следует из леммы Гронуолла.

2) Правило решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство 

Если в уравнении (1)  , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

• Решения уравнения с разделяющимися переменными

  • Решения уравнения   являются решениями (3).

  • Если область   выбрана так, что  , то разделив на   получим уравнение с разделёнными переменными

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку  , имеет вид:

3) Правило решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

- общий вид

Однородное:

Неоднородное:

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

Получим

используем правило дифференцирования произведения

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

где   является константой интегрирования.

4) Правило решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальное уравнение   называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция   — интегрирующий множитель, в виде:

Умножим обе части исходного уравнения на  , получим:

Легко заметить, что левая часть является производной функции   по  . Поэтому уравнение можно переписать:

Проинтегрируем:

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Рассмотрим однородное уравнение  . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение: ,

получаем: , где   — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки   в решение однородного уравнения:

5)  Правило решения дифференциальных уравнений первого порядка в полных дифференциалах.

Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

(16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что  . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие  . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна  , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) =C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.  Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений   Из первого уравнения этой системы находим   с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции   (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется  .

6) Правило решения дифференциальных уравнений высшего порядка, допускающих понижение порядка

Уравнения, допускающие понижение порядка — это уравнения двух типов:

F(x, y, y) = 0 (1) и

F(y, y, y) = 0 (2)

Алгоритм решения.

1. Делаем замену : в уравнении (1) y’= p(x), тогда y’’= p’(x);

в уравнении (2) y’= p(y), тогда , так как по правилу дифференцирования сложной функции

2. Решаем получившееся уравнение 1-го порядка относительно функции p, выписываем общее решение и подставляем в него y’= p, получая вновь уравнение 1-го порядка. Общее решение последнего совпадает с общим решением исходного уравнения.

3. Если дана задача Коши, подставляем начальные условия в формулу общего решения и находим соответствующее частное

7) Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.