27, 28. Предпосылки мнк: гомоскедастичность, гетероскедастичность, автокорреляция остатков.

1. Случайные остатки

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано.

Если нет, то необходимо применять др. функцию, либо вводить дополнит. информацию.

2. Нулевая ср. величина остатков:

E= (y - )=0, независимая от x

Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимо от значений x .

Если график показывает наличие зависимости от E и x , то модель неадекватна.

3. Гомоскедастичность, т.е. дисперсия каждого отклонения E одинаково для всех значений x .

Если условия не соблюдаются, то имеет место гетероскедастичность.

4. Отстутсвие автокорр-ции остатков:

Автокорреляция остатков означает наличие корреляции м/у остатками текущих и предыдущих наблюдений .

Отсутствие автокорр-ции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэф-тов регрессии

5. Остатки подчиняются нормальному распределнию.

29. Метод наименьших квадратов. Обобщенный мнк.

I. Модель в натуральном и стандартизованном масштабе:

1. Множественная модель в натуральном масштабе (общий вид) запишется так:

y_x=f (x_1,x₂,…,x_n)

y_x=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_mx_m+E

y_x-расчетные значения результата (отклик);

x_1,x₂,…,x_m – независимые переменные (регрессор)

b_1,b_2,…,b_m – коэффициенты уравнения.

Для любой регрессионной модели должны выполняться условия Гаусса-Маркова, причем:

1. M (E_i)=0 – математическое ожидание случайных ошибок должно быть равно 0.

2. D (E_i)=const. Дисперсия случайных ошибок должны быть постоянной.

3. Случайные ошибки не ковариируют между собой:

сov (E_i-1;E_i)=0, причем i-1 не равно i.

4. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

2. Модель множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

Построение модели регрессии в стандартизованном (нормированном) масштабе означает, что все переменные, входящие в модель должны стандартизоваться по специальным формулам: данный процесс устанавливаетя для каждой переменной её среднее значение по выборке.

Единицей измерения стандартизованной переменной является её среднеквадратическое отклонение:

t_y=β₁t_x1+ β₂t_x2+…+ β_mt_xm+E

t_y, t_x1, t_{x2, …,} t_xm – стандартизованные переменные;

β_1, β_{2, …,} β_m – стандартизованные коэффициенты уравнения регрессии. Данные коэффициенты показывают, насколько единиц в среднем изменится результат, если соответствующий фактор х изменится на 1 единицу при неизменном среднем уровне других факторов.

Результативная переменная у переводится в стандартизованный вид по формуле:

t_y=

Факторная переменная переводится по той же формуле, только вместо у – x_i

Классический подход к оценке коэффициентов уравнения основан также на методе наименьших квадратов (МНК):

1. Мнк для модели в общем виде:

СНУ для моделей множественной регрессии имеют вид:

b₁=

b₂=

b_m=

a=