4. Классификация потоков жидкости

Рассмотрим зависимость поля скоростей потока от времени (признак классификации).

Установившимся называют такое движение, при котором скорость потока в любой точке пространства не зависит от времени.

В противном случае движение жидкости называется неустановившимся.

Поле скоростей при установившемся движении не зависит от времени.

или

Если рассмотреть определенную точку пространства с координатами , через которую с течением времени проходят различные частицы жидкости, то все они обладают одинаковой скоростью вне зависимости от времени. Но в разных точках пространства скорости различны, и поля скоростей неоднородны.

При установившемся движении жидкости траектории и линии тока совпадают.

Рассмотрим частицу жидкости, находящуюся в момент времени в точке А (рис. 4.5). Линия АВС есть линия тока в момент времени . За время частица переместится по касательной к вектору скорости в точку В вдоль линии тока. В точке В величина скорости через время останется неизменной как по величине, так и по направлению, вследствие чего частица жидкости будет передвигаться далее в точку С вдоль линии тока. Повторяя далее эти рассуждения, убеждаемся, что траектория частицы, в начальный момент времени занимавшей точку А, будет при установившемся движении совпадать с линией тока.

При неустановившемся движении скорость в точке В в момент времени изменится по величине и направлению, и частица жидкости, попав в эту точку, в дальнейшем будет двигаться по касательной к новой, измененной скорости, сойдя с Ли­нии АВС, являвшейся лини­ей тока в момент времени .

Р ассмотрим классификацию потоков жидкости по их геометрическим признакам.

Введем понятие пространственного, плоскопараллельного и осесимметричного течения жидкости. Методы исследований этих течений в ряде случаев различны.

Пространственное (трехмерное) движение характеризуется тем, что поле скорости в нем зависит от трех декартовых координат .

В соответствии с этим в пространственном течении имеются три проекции скорости на оси координат:

Плоскопараллельным называется такое движение жидкости, при котором картины течения в плоскостях, перпендикулярных некоторой оси, одинаковы.

В сходственных точках, лежащих в параллельных плоскостях, скорости одинаковы и не зависят от координаты .

Иными словами

0.

Следовательно, при изучении плоскопараллельного движения можно ограничиться исследованием течения только в плоскости ; это случай решения плоской задачи гидромеханики. В чистом виде плоскопараллельное движение не наблюдается.

Осесимметричным называется движение жидкости, при котором поле скорости одинаково в любых плоскостях, проходящих через некоторую прямую, называемую осью симметрии потока.

5. Уравнение неразрывности

Любой поток должен удовлетворять закон сохранения массы. Уравнение сплошности или неразрывности представляет собой гидромеханическое выражение закона сохранения массы.

Рассмотрим жидкую частицу объемом V (рис. 4.6). Ее масса равна  V. Согласно закону сохранения материи, производная от массы этой частицы

.

Взяв производную и разделив результат на массу , получим

.

Полагая жидкость несжимаемой и однородной , придем к следующему математическому выражению для закона сохранения материи:

. (4.2)

Из этого выражения следует, что для несжимаемой жидкости закон сохранения массы переходит в закон сохранения объема частиц. Величина представляет собой относительную скорость изменения объема. Для этого рассмотрим жидкую частицу, первоначально имевшую форму шара радиуса . Размеры частицы предполагаем малыми. Предположим, что оси декартовых координат совпадают с главными осями деформации. Под их воздействием сфера деформируется в эллипсоид. Если  относительная скорость линейных деформаций, то выражение для полуосей эллипсоида через элементарное время деформации можно записать в виде:

(4.3)

Начальный объем частицы  , а конечный, после деформации  .

Приращение объема с учетом (4.3) составит

.

Ограничиваясь малыми первого порядка, находим

Подставляя полученное выражение в закон сохранения массы (4.2), получим

. (4.4)

Сумма называется относительной скоростью объемного расширения, согласно (4.4), у несжимаемой жидкости равна нулю. То есть объем частицы до и после деформации не изменяется.

Зависимость (4.4) можно представить в виде

. (4.5).

Выражения (4.4)и (4.5) представляют собой уравнения неразрывности в дифференциальной форме.

Получим интегральную форму уравнения неразрывности.

Предварительно введем понятие расхода жидкости через поверхность, понимая под ним количество жидкости, протекающее в единицу времени через незамкнутую поверхность. Различают объемный расход Q (размерность ), массовый расход ( ) и весовой расход ( ).

Между этими величинами в однородной жидкости существует соотношение:

В дальнейшем будем оперировать понятием объемного расхода. Для получения общего выражения расхода рассмотрим течение жидкости через поверхность S. Выделим на ней элементарную площадку . Вектор скорости в центре площадки разложим на нормальную и касательную _τ составляющие. Очевидно, касательная составляющая _τ не дает расхода жидкости через площадку. За время через протечет объем жидкости Элементарный расход будет равен отношению (количество жидкости, отнесенное к единице времени), то есть

.

Суммируя расходы по элементарным площадкам, что сведено к интегрированию по поверхности, получим выражение для расхода жидкости через поверхность S:

(4.6)

Выделим в жидкости поверхность S произвольного объема V. Возьмем элементарный объем и умножим его на .

Физически количество характеризует, согласно (4.2) , изменение величины элементарного объема вследствие деформации. Проинтегрируем количество по объему и воспользуемся формулой Гаусса – Остроградского, переводящей объемный интеграл в поверхностный.

(4.7)

В этой формуле введена нормальная составляющая скорости . Согласно (4.6) , интеграл в правой части представляет собой расход жидкости через замкнутую поверхность, равный в соответствии с (4.7)

. (4.8)

Это выражение представляет математическую формулировку уравнения неразрывности в интегральной форме. Физически оно истолковывается следующим образом: расходы втекающей и вытекающей жидкости через произвольную замкнутую поверхность должны быть равны. При этом внутри жидкости не происходит ни накопления жидкости, ни образования пустот.

Живым сечением потока называется поверхность, нормальная к векторам скоростей. Если S поверхности живого сечения, то расход через нее выражается как

.

Введем среднюю по живому сечению скорость. Под ней понимается фиктивная, постоянная по живому сечению скорость , обеспечивающая одинаковый с заданным расход. Из этого определения следует, что

.

Средняя скорость равна расходу, деленному на площадь живого сечения:

.

Рассмотрим поток жидкости (рис. 4.7) конечных размеров, ограниченный с боков твердыми стенками . Проведем два произвольных живых сечения и . Расход жидкости через замкнутую поверхность , согласно предыдущим выводам, равен нулю.

Рис. 4.7. Поток жидкости

Считая поток вытекающей жидкости положительным, а втекающей – отрицательным, запишем

и поскольку , то , то есть расход жидкости вдоль потока конечных размеров постоянен. С учетом введения понятия средних скоростей последнее равенство может быть записано в виде:

.

Уравнение неразрывности в такой форме находит широкое применение при исследовании течений жидкости.