3. Линия тока и элементарная струйка

С методом Эйлера тесно связано понятие линии тока. Выделим в потоке в фиксированный момент времени ряд точек. Проведем линию, касательные к которой совпадали бы с направлением векторов скорости жидких частиц, находящихся в этих точках. Эта линия называется линией тока (рис. 4.3).

И ными словами линия тока касательная к векторам скоростей. Она соединяет отдельные жидкие частицы в один и тот же момент времени, чем существенно отличается от траектории, представляющей след движения одной частицы.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени. При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. При неустановившемся движении непрерывно изменяются и величины, и направления скорости движения. Траектории движения частиц в этом случае также непрерывно изменяются во времени.

Получим дифференциальные уравнения линий тока, учитывая, что их векторный элемент совпадает с направлением вектора скорости , то есть || .

Воспользовавшись тем, что векторное произведение двух векторов равно нулю, запишем дифференциальное уравнение линии тока в векторном виде:

Раскрывая векторное произведение, получим

или, приравнивая множители при ортах нулю,

Поделив первый член этой системы на , второй на , третий на , представим ее в виде

Это соотношение может быть записано более компактно:

Необходимо иметь в виду различие между траекторией частицы жидкости и линией тока. В то время как траектория относится лишь к одной определенной частице жидкости и показывает путь, проходимый этой частицей в пространстве за некоторый промежуток времени, линия тока связывает между собой различные лежащие на ней частицы и характеризует направление их движения в данный момент времени.

Линии тока соответствуют состоянию поля скоростей в движущейся жидкости в данный момент времени. Если в следующий момент поле скоростей изменится, то изменится и положение линий тока.

Однако в случае установившегося движения, характеризуемого неизменяемостью поля скоростей во времени, частицы жидкости будут следовать вдоль неизменных линий тока; таким образом, линии тока и траектории частиц жидкости совпадают между собой только при установившемся движении.

Л инии тока и траектории можно сделать видимыми, чем широко пользуются в лабораторной практике при различного рода экспериментальных исследованиях и наблюдениях над движением жидкости. Для этого, например, на поверхности жидкости рассеивают мелкие частицы какого-нибудь вещества, нерастворимого в жидкости, и при помощи фотографического аппарата производят съемку. При съемке с короткой выдержкой эти частицы дают на пластинке короткие черточки (штрихи), которые при достаточно большом количестве частиц сливаются и показывают общую картину линий тока (рис. 4.4).

Введем понятие трубки тока. Выделим в жидкости замкнутый контур, не являющийся линией тока. Через каждую точку этого контура проведем линию тока и получим трубчатую поверхность тока – трубку тока. Жидкость, заключенная внутри контура тока, называется жидкой струйкой. В общем случае скорости жидкости по поперечному сечению струйки различны. Элементарной называют жидкую струйку, в которой можно пренебречь изменением скорости по ее поперечному сечению.