_{КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ}

1. Введение

Кинематика жидкости – раздел гидродинамики, в котором изучается только геометрические свойства движения жидкости без учёта влияния сил, вызывающих это движение. В силу этого все основные выводы кинематики справедливы для любой жидкости, как вязкой, так и невязкой.

В основу изучения кинематики жидкости положена гипотеза о непрерывности изменения кинематических параметров (скоростей, ускорений). Иными словами скорость жидкости предполагается непрерывной от координат, а функции, описывающие движение жидкости – дифференцируемыми.

Иногда свойство непрерывности кинематических параметров может нарушаться – в точке, на линии, на поверхности. Эти области непрерывности скорости называются особыми точками, линиями разрыва и поверхностями разрыва.

Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Жидкая частица – часть жидкости, малая по сравнению с объемом рассматриваемой жидкости, и в то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости. В частице содержится так много молекул, что жидкость в пределах частицы можно считать сплошной средой – континуумом.

В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны законы движения всех частиц, то есть положение каждой частицы задано как функция времени.

2. Два метода изучения движения жидкости

Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Т акой подход получил название метода Лагранжа (рис. 4.1).

В начальный момент времени выделим в жидкости фиксированную частицу с координатами x₀, y₀, z₀. Движение этой частицы известно, если известны законы изменения координат, характеризующих положение частицы с течением времени:

(4.1)

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение траектории, то есть след движения частицы в пространстве. Переменные x₀, y₀, z₀ и t называют переменными Лагранжа.

Проекции скоростей частиц жидкости определяются зависимостями:

,

где – рассматриваются как параметры, а ускорения – зависимостями

.

Для описания движения жидкого объема, содержащего N частиц, следует задать соответствующее число систем уравнений типа (4.1), что создает большие математические трудности.

В чистом виде метод Лагранжа используется редко. Он позволяет проследить за движением любой фиксированной частицы, однако это излишне, поскольку все частицы практически одинаковы. Метод Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений.

Широкое применение для исследования получил метод Эйлера (рис. 4.2). По этому методу рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер изменения скорости в этих точках в зависимости от времени. Под скоростью в точке пространства понимают скорость жидкой частицы, которая в данный момент времени находится в этой точке. Поле скоростей по этому методу создается в виде:

или

,

где – координаты точки пространства, а не жидкой частицы.

С корость u называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам. Переменные x, y, z, t называют переменными Эйлера.

Как известно, чтобы задать движение твердого тела, необходимо знать скорости трех его точек (не лежащих на одной прямой). Если же нужно задать движение жидкости, то есть тела легко деформируемого, требуется знать скорость во всех точках занимаемого пространства. Число этих точек в пределе стремиться к бесконечности.

Метод Эйлера проще метода Лагранжа, так как в нем используется хорошо разработанный математический аппарат теории поля. Применяя метод Эйлера, который не позволяет учесть индивидуальность каждой частицы, следят за поведением различных частиц, проходящих через фиксированную точку пространства.