9. Понятие интерполяции

Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Способы интерполяции

1. Интерполяция многочленами

а) Линейная интерполяция

б) Интерполяционная формула Ньютона

в) Метод конечных разностей

г) Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)

д) Сплайн-функция

2. Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

а) Полином Лагранжа

б) Обратное интерполирование по формуле Ньютона

в) Обратное интерполирование по формуле Гаусса

3. Интерполяция функции нескольких переменных

4. Тригонометрическая интерполяция

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции f(x):

где

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями f в узлах интерполяции, то есть

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

Конечной разностью порядка m (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка m - 1, то есть

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

Прямая интерполяционная формула Ньютона:

Δ^ky_i — конечные разности.

Разделенная разность — обобщение понятия производной. Разделенная разность нулевого порядка функции f(x) — сама функция f(x). Разделенная разность порядка n определяется через разделенную разность порядка n − 1 по формуле

Интерполяция параболическими полиномами по методу Ньютона и методу Лагранжа

Пусть задана функция .

Пусть заданы точки из некоторой области D.

Пусть значения функции f известны только в этих точках.

Точки X называют узлами интерполяции.

- шаг интерполяционной сетки.

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F из заданного класса функций, что

Полином Лагранжа

Представим интерполяционную функцию в виде полинома

где - полиномы степени n вида:

Очевидно, что принимает значение 1 в точке x_i и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке x_i исходный полином принимает значение y_i

Таким образом, построенный полином является интерполяционным полиномом для функции на сетке X.

Полином Ньютона

где - полиномы Лагранжа степени i ≤ n.

Пусть .

Этот полином имеет степень i и обращается в нуль при .

Поэтому он представим в виде:

, где A_i - коэффициент при xⁱ. Так как xⁱ не входит в , то A_i совпадает с коэффициентом при xⁱ в полиноме . Таким образом из определения получаем:

где

Перепишем формулу (*) в виде

Рекуррентно выражая пролучам окончательную формулу для полинома:

Такое представление полинома удобно для вычисления, потому что увеличение числа узлов на единицу требует добавления только одного слагаемого.

Пусть задан [a,b], он разбит на n+1 подинтервалов. Тогда сплайном Sn(x) будет называться степенная ф-я, определенная на [a,b] степени n и такая, что на каждом участке x_i<x<x_i+1 она представляет ф-ю Sni=a0_i+a1_ix+a2_ix2+...

Т.е. для каждого участка задана своя ф-я степени n.

Понятие аппроксимации. Критерии близости. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация параболическими полиномами. Аппроксимация ортогональными полиномами по методу наименьших квадратов (НК). Аппроксимация показательными полиномами по методу НК. Аппроксимация тригонометрическими полиномами по методу НК.

f(x) задана таблично на [a,b]. Процесс апроксимации это построение полинома проходящего в близи этих точек, сглаживающего их.По исходным данным подобрать такую аналитическую ф-ю φ (х), где х є[a,b], которая имела бы простую структуру и сглаживала бы исходные даные и как можно лучше отображала ф-ю f(x). Это процесс назыв. апроксимацией. Интерполяция это частный случай апроксимации. При апроксимации используются различные классы ф-й (это степен.ф-и, тригоном-е ф-и.). Он выбирается из физического смысла задачи. Степень полинома k<n (кол-во точек) т.к точность от нас не требует точного совпад-я в узлах апроксимации.

Сущест-ют две меры близости f(x) к φ (х). 1) δ²=_i=0Σⁿ(φ(х_i)-f(x_i))² 0 Нам необходимо найти min этой ф-и т.е сумма квадратов отклонения в узлах апроксимации должна быть min. Это метод наимен. квадратов.2)Δ=max|φ(х_i)-f(x_i)|→ 0 max отклонения апроксимирующей ф-ии должно быть min. Это равномер. апроксимация. Он использ. редко.

Методом наим-ых квадратов(МНК). О качестве полученной апроксимации можно судить по величене уклонений

Vi=| φ(х_i)-f(x_i)|, i=0…n. Если мы составили апроксимирующий полином, вычислили отклонения для всех узлов и эти уклонения нас не устраивают, то нам необходимо увеличить степень полинома с k до k+1.Это приводит к повтору всех проделанных вычислений. Поэтому желательно найти способ составления всех апроксимир-их полиномов от кот. Легко перейти от k к k+1 без сложных вычислений.

Пусть дана n+1 ф-ця f(x) – задана таблично

X: X0; X1… Xn

Y: Y0; Y… Yn

получаем полином

Аппроксимация парабол полиномом

F(x): x₀=a, x₁, x₂, ..., x_n=b

y₀, y₁, y₂, ..., y_n

(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k k<n

Составляется целев ф-ция по МНК

Частные произв равны 0 – сост-м систему

Решив систему получим коэффициенты для полинома (x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k

Аппроксимация показательным полиномом

Имеются узлы аппроксимации: x0 x1 x2 … x

y0 y1 y2 … yn

Из теории д.у. известно что решением нелин. д.у. n-го порядка является показат полином, причем степень полинома совпадает со степенью д.у.

Ищем д.у., решением кот-го явл-ся показат полином

Рассм полином 2-й степени

В реальных задачах

Поиск коэффицентов a1, a2:

E=∑(Δ²yi+p1*Δyi+p0*yi)² i=0,…,n-2

Δyi=y(i+1)-yi Δ²yi=y(i+2)-2y(i+1)+yi

dE/dpo=0

dE/dp1=0

В результате получаем СЛАУ. Решаем ее.

λ1=-p1/2+(p1²/4-p0)½

λ2=-p1/2-(p1²/4-p0)½

Находим искомые коэффициенты:

a1=ln| λ1|

a2=ln| λ2|

Поиск коэффицентов b0, b1, b2:

E=∑(yi-b0-k1i*b1-k2i*b2)² i=0,…,n

k1i=exp(a1*xi) k2i=exp(a2*xi)

dE/db0=0

dE/db1=0

dE/db2=0

В результате получаем СЛАУ. Решаем ее.

Аппроксимация ортогональными полиномами по методу наименьших квадратов (НК).

Аппроксимирующую функцию будем искать в виде

для этого необходимо

1. Составить ортогональные полиномы

и так далее до необходимого порядка точности

2. Вычислить коэффициенты Фурье

Здесь массивы X и Y – массивы экспериментальных значений

П ри аппроксимации тригонометрическим полиномом в качестве базовой аппроксимирующей выбирается:

где m-порядок полинома.

Коэффициенты полинома определяются на основании метода наименьших квадратов при минимизации среднеквадратического отклонения:

Тогда коэффициенты тригонометрического полинома определятся по формулам:

где j=0,1,2…m.

Сначала устанавливается минимальный порядок ряда m=1, а потом увеличивается, пока не будет достигнута требуемая точность.

Понятие численного интегрирования. Нахождение интеграла методом прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования.

Метод прямоугольников:

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке [a,b]. Этот отрезок делится точками x₀,x₁,…x_n-1,x_n на n равных отрезков длиной дельта x = (b-a)/n.

Обозначим через y₀,y₁,…y_n-1,y_n значение функции f(x) в точках x₀,x₁,…x_n-1,x_n. Далее составляем суммы y₀*д x+y₁*д x,…y_n-1*д x,y_n*д x.

Каждая из сумм — интегральная сумма для f(x) на [a,b] и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры,

составленной из «входящих» прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [a,b] , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Метод трапеций:

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

Погрешность формулы трапеций:

Метод Симпсона (парабол):

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения. Задача Коши. Краевая задача. Решение ОДУ методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера, методом Рунге – Кутта, методами прогноза и коррекции. Решение ОДУ большого порядка. Решение систем ОДУ. Методы решения краевых задач

Основные понятия.

Ур-ния, содержащие неизвестную ф-цию под знаком производной, называются дифференциальными уравнениями.

Классификация ДУ осуществляется по ряду признаков:

1. Если ур-ние содержит одну независимую переменную и производную по ней =>ОДУ. Если две и более и производные по ним, то ДУРЧП

2. Порядок старшей производной.

Различают ДУ первого, второго и т.д. порядков.

3. Если зависимая переменная входит в первой степени, то имеем линейные ДУ, в противном случае – нелинейные ДУ.

Решить ОДУ – это значит найти некоторую ф-цию, которая удовлетворяла бы как самому ур-нию, так, возможно, дополнительным условиям.

В зависимости от дополнительных условий различают задачу Коши и краевую задачу.

Для решения задачи Коши существует набор хорошо апробированных методов, а решение каждой отдельной краевой задачи может потребовать специфических подходов. Поэтому в классической вычислительной математике рассматривают вычисления задачи Коши, которую в простейшем случае можно рассмотреть следующим образом:

Задано ОДУ первого порядка: и начальное условие: y(x₀)=y₀. Требуется найти ф-цию, удовлетворяющую как уравнению, так и начальному условию.

Численные методы для решения этой задачи могут быть разбиты на две группы: одношаговые и многошаговые.

Одношаговый метод.

В основе всех одношаговых методов лежит разложение ф-ций в ряд Тейлора:

, в котором сохраняются члены до установленного порядка. Если сохраняется член вида , то говорят, что метод имеет порядок n, а погрешность метода пропорциональна hⁿ⁺¹. Для нахождения следующей точки y(x^k+1) требуется информация только об одной предыдущей точке y(x^k) – способность самостартования.

Простейшим представителем одношаговых методов является метод Эйлера.

y(x+h)=y(x)+hy’(x)+O(h²)

В результате имеем общую формулу метода Эйлера:

y(x₀)=y₀, k=0,1,2,…

Несомненное преимущество метода Эйлера – простота реализации. Существенный недостаток – крайне низка точность, которую, однако, можно заранее оценить. Как правило, для повышения точности осуществляют решение с шагом h, с шагом h/2 и т.д. В этом случае процедуру называют самоконтролирующей или с автоматическим выбором шага.

Модификации метода Эйлера

Приведенный метод Эйлера можно улучшить, незначительно увеличив сложность вычислений, при этом повысится точность реше­ния.

Будем рассматривать дифференциальное уравнение того же

вида: y'=F(x,y) с начальным условием у(х₀)=у₀

1 шаг. Выбираем фиксированное приращение аргумента h=(Xf-Xo)/n, где Xf - Конечная точка интервала интегрирования, n - число шагов.

2 шаг. Применяя процедуру модиф-го метода Эйлера, вычисляем у_к по рекуррентной формуле:

Все остальные одношаговые методы базируются на идее Эйлера, но для значительного повышения точности используются дополнительные точки.

Классическим считается метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

y_n+1=y_n+1/6(k₀+2k₁+2k₂+k₃)

k₀=hf(x_n;y_n)

k₁=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₀)

k₂=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₁)

k₃=hf(x_n+1/2h;y_n+k₂)

Ошибка пропорциональна O(h⁵).

Этот метод сочетает простоту реализации с достаточной точностью в связи с чем он стал базовым во всех библиотеках математических программ. Для повышения точности в основную процедуру добавляют механизм половинного деления.

ОДУ высших порядков. Системы ОДУ.

Если есть ОДУ порядка P, то последовательные замены переменных его можно свести к системе из P ОДУ первого порядка, которая в общем случае имеет вид:

Y₁(0)=Y₁₀

…

Y_n(0)=Y_n0

Для решения C в системе ОДУ могут быть использованы методы, рассмотренные для решения отдельного уравнения.

Сложность заключается в том, что ф-ции f_i могут иметь абсолютно разные динамические характеристики, а независимая переменная x одна, поэтому шаг интегрирования выбирается для всех ф-ций, что в конечном итоге может привести к катастрофическому накоплению погрешности ошибок. Особая проблема – решение краевых задач. Постановка краевой задачи отличается наличием дополнительных условий прохождения кривой y(x) через все точки. Как правило, для поиска решения используют метод «стрельбы».

Методы прогноза и коррекции.

При использовании методов прогноза и коррекции одного порядка точности их погрешности выражаются через одну и ту же старшую производную искомой функции. Так, для

методов второго порядка прогноз дает

Коррекция:

Исключая из этих соотношений неизвестное истинное решение , можно выразить третью производную (а значит и погрешности методов прогноза и коррекции) через значение (прогноз) и стационарную точку коррекции

Т. о., если после проведенных корректирующих итераций взять значение

то погрешность (m + 1)-го шага будет уже

Преимущества.

• Использование информация о предыдущих уже пройденных точках (не требуется до-

полнительных расчетов, как в методах Рунге–Кутты).

• Высокая точность расчета.

Недостатки.

• Методы являются несамостартующими.

Для запуска вычислений, на первых нескольких узлах необходимо использовать дру-

гой (одношаговый, самостартующий) метод, например, метод Рунге–Кутты.

Решение дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Конечно-разностные методы решения. Решение стационарного, одномерного волнового уравнения, одномерного уравнения теплопроводности.

Модель длинной линии. Телеграфные и волновые уравнения.

На рисунке изображена эквивалентная схема отрезка длинной электрической линии провода кабеля и т.д. и т.п.

R₀, L₀, C₀, G₀ – погонные параметры, dx – длина отрезка, который мы рассматриваем.

(1)

(2)

Продифференцируем обе части уравнения по dx:

Телеграфные уравнения представляют собой ДУЧП первого порядка, а волновые ДУЧП второго порядка. Решая эти уравнения тем или иным численным методом можно получить кривые изменения токов и напряжения как во времени, так и по длине.

Решение стационарного уравнения разностным методом

Решение ищется в области D с границей Г. Пусть a > 0 , b > 0 , g <= 0 в D

Заданы граничные условия: для всех

Покроем обл D сеткой параллельных прямых: где

Точки пресечения прямых – узлы. Узлы внутри D- внутренние, если хотя бы один соседний узел данного узла вне области D, то узел – граничный.

Заменим производные во внутренних точках уравнениями по шаблону «крест»

Подставим в исходное уравнение отбросив погрешность

Такое уравнение составляется для каждой внутренней точки

Далее рассм граничные точки. Значения в них вычисляются в зависимости от того какая из 4-х точек пересечения границы обл D ближе к нашей гр точке или

Получим или

Или

Отбросив погрешность получим уравнение для нраничной точки.

Такое ур-е сост-ся для всех точек.

Решение системы из ур-й для внутренних и граничных точек есть решение исходного уравнения

Понятие оптимизации. Типы задач оптимизации.

Оптимизация – выбор наилучшего варианта среди некоторого множества возможных.

Этот выбор подразумевает наличие некоторого правила предпочтения, называемого критерием. В частности, в качестве критерия может выступать некая ф-ция f(c), называемая целевой ф-цией.

Задача оптимизации имеет два аспекта:

1. Нужно формализовать понятие оптимальный, исходя из специфики предметной области.

2. Нужно решить полученную математическую задачу наиболее подходящим для этого методом.

Область математики, изучающая теорию и методы решения задач, называется математическим программированием.

Постановки задач различают:

- задачи линейного программирования – всегда с ограничениями;

- задачи целочисленного программирования;

- задачи нелинейного программирования с ограничениями и без оных.

Область математики, изучающая теорию и методы решения задач оптимизации (определение экстремума функции) называется математическим программированием.

Классификация задач математического программирования основана на специфике функций и ограничений.

В зависимости от количества независимых переменных различают одномерные и многомерные задачи.

В зависимости от вида функции различают линейное и нелинейное программирование.

В зависимости от числа экстремумов рассматриваемой области различают задачи локальной (1 экстремум) и глобальной (много экстремумов) оптимизации.

В зависимости от наличия или отсутствия ограничений, накладываемых на независимые переменные, различают задачи на условные и безусловные экстремумы.

Задача наилучшего приближения.

Если рассматривать систему n линейных уравнений с m неизвестными в случае, когда она переопределена, то иногда оказывается естественной задача о нахождении вектора x, который "удовлетворяет этой системе наилучшим образом", т. е. из всех "не решений" является лучшим. Например, бывает полезной задача о нахождении вектора x, для которого разность правой и левой частей системы (невязка) минимальна, т. е. минимальна функция

(1) Эту задачу символически записывают в виде .

Норму в (1) можно брать разную. Например, если взята евклидова норма, то получается задача о наилучшем квадратичном приближении

или, что эквивалентно,

Геометрически эта задача интерпретируется как задача о нахождении на гиперплоскости A(R^m) в пространстве Rⁿ точки, ближайшей к точке b = (b₁, ..., b_n).