Понятие модели. Понятие моделирования. Типы моделирования.

Требования, предъявляемые к моделям. Математическое моделирование. Классификация математических моделей.

Моделирование – представление характеристик поведения физической или абстрактной системы (оригинала) с помощью другой системы (модели).

Модель – материальный, мысленно представляемый объект, который в процессе познания замещает объект оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

К материальным относят моделирование, при котором модели воспроизводят основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики оригинала.

В основе материального моделирования лежит понятие подобия прямого, косвенного и условного.

Прямое подобие устанавливается через физическое взаимодействие и приводит к физической модели.

Косвенное подобие устанавливается через общую абстрактную модель и приводит к аналоговой модели.

Условное подобие устанавливается через соглашение.

Примерами могут служить: удостоверение личности, чертежи, схемы, сигналы.

Физическим называют моделирование, при котором оригиналу соответствует его увеличенная или уменьшенная копия.

Теоретической основой является теория подобия.

Аналоговое моделирование основано на одинаковом формальном описании различных физических процессов.

Интуитивное моделирование основано на не поддающемся формализации представлении человека о тех или иных объектах процесса. Весь жизненный опыт человека – это его интуитивная модель окружающего мира.

Важнейшим видом является знаковое моделирование, где в качестве моделей используются совокупности знаков и правила их преобразования.

Одним из видов знакового моделирования является математическая, поскольку в математике обеспечена высочайшая степень формализации знаковых преобразований.

Требования к моделям.

1. степень универсальности характеризует полноту отображения свойств реального объекта. Полной универсальностью обладает только оригинал;

2. точность оценивается степенью совпадения параметров оригинала и соответствующих параметров модели, полученных в ходе моделирования;

3. адекватность – способность отображать исследуемые свойства объекта с заданной точностью в указанной области изменения параметров.

4. экономичность характеризует материальные (финансовые, трудовые, временные) и вычислительные (требуемый объем памяти, требуемое машинное время) затраты на реализацию модели.

5. ингерентность, т.е. степень согласованности с общим уровнем развития техники технологий культуры.

Математическое моделирование – это процесс установления соответствия данного реального объекта, этот объект описывается с помощью математической логики, мат.методов и носит чисто теоретический характер

Математическая модель – совокупность мат.объектов(чисел, переменных) и отношения между ними, которая адекватно отображает св-во исследуемого объекта.

Классификация моделей. Познавательные модели являются формой организации и пред¬ставления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися; они отражают реальность и поэтому "подгоняются" под неё.

Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. рабочим представлением целей.

По области применения: модели технических, экономических, биологических, социальных и др. объектов и систем

В зависимости от класса решаемых задач различают дескриптивные (описательные), оптимизационные, поведенческие (имита¬ционные), информационные и т.п. модели.

По характеру отображаемых свойств: структурные и функциональные модели. Структурные модели подразделяются на топологические и геометрические.

В топологических моделях отображаются состав и взаимосвязи элементов системы.

В геометрических моделях дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме де¬талей. Функциональные модели предназначены для отображения фишческих (электрических, механических, гидравлических, тепловых) или информационных процессов, протекающих при функционировании или изготовлении объекта.

Статические функциональные модели описываются системами линейных или нелинейных алгебраических уравнений (СЛАУ, СНАУ). Динамические функциональные модели описываются и. темами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или диференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП).

Аналитические модели представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних па¬раметров. Они характеризуются высокой экономичностью.Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с внутренними и внешними параметрами объекта в форме того или иного алгоритма (программы).

Особенностью моделей микроуровня является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени (НПНВ - модели). Типичная форма этих моделей - системы ДУЧП. На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства или времени

Физическое моделирование. Понятие подобия. Критерии подобия. Первая теорема подобия. Зависимые и независимые единицы измерения. Нахождение числа критериев подобия. Вторая теорема подобия. Третья теорема подобия.

Понятие подобие заимствовано из геометрии, например, хоро­шо известны подобные треугольники, и означает сущест­вование определенных масштабных соотношений (коэффициентов подобия) вида

В общем случае имеем следующий случай: пусть имеется некоторый оригинал, описываемый как некая ф-ция от некоторого набора параметров , и пусть имеется модель, описываемая как . Если для всех параметров x_i выполняются соотношения , то говорят, что объект и модель подобны. Не все m_i могут принимать произвольные (независимые) значе­ния, т.к. среди параметров X есть взаимосвязанные. Например, если X₁=I, Х₂ = U, Х₃ = R, то справедливо соотношение (закон Ома): X₁ = Х₂/ Х₃. В связи с этим вводят некоторые обобщенные характеристики, являющиеся функциями групп зависимых и независимых параметров -критерии подобия.

Тогда под подобием понимают такое взаимооднозначное соот­ветствие между параметрами модели и объекта, при котором правила перехода (критерии подобия) от X i_м к X i₀ известны.

Первая теорема подобия (теорема Ньютона-Бертрана): подобные явления имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия (π), численно одинаковые.

Проиллюстрируем примеры следующими примерами: пусть имеем механические поступательные системы, подчиняющиеся второму закону Ньютона:

Согласно второму закону Ньютона они описываются уравнениями вида:

F1-M1a1=0

F2-M2a2=0

M₁=m_M·M₂; x₁=m_x·x₂; t₁=m_t·t₂ – тогда уравнения примут следующий вид:

Произвольно введем масштабные коэффициенты:

M1=mM·M2 F1=mF·F2

x1=mx·x2 t1=m1·t2

Подставляя полученные соотношения в уравнение (3), имеем:

Сравнивая (4) и (5), приходим к фундаментальному соотношению для механических поступательных систем:

Переходя от масштаба к соответствующим физическим величинам, получаем формулировку критерия подобия Ньютона: . Оно справедливо для всех подобных механических поступательных систем. - величина обязательно безразмерная.

Полученный результат трактуется следующим образом: для всех механических поступательных систем, подчиняющихся второму закону Ньютона, величина π_Ne (безразмерная!) должна быть одной и той же, если эти системы подобны.

Следствие: количество критериев подобия всегда на единицу меньше числа членов уравнения, описывающего исследуемый процесс.

Критерий Ньютона является динамическим, поскольку в него входит время.

Кроме динамических существует статистические критерии, например: для электрических цепей, подчиняющихся закону Ома, имеем: .

Теорема вводит понятие критерия подобия, но не дает формальные процедуры его определения.

Вторая теорема подобия: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц измерения, может быть представлено функциональной зависимостью критериев подобия.

Полным уравнением будем называть уравнение, в которое входят все интересующие нас в данном случае физические величины.

Системой единиц измерения называется совокупность определенным образом установленных единиц измерения, физических величин, которая включает основные (первичные), производные (вторичные) и дополнительные единицы измерения.

Основные единицы измерения выбираются произвольно!

Производные единицы измерения выражаются через основные с помощью формул размерности, которые отражают те или иные физические законы, например: из второго закона Ньютона следует формула размерности вида f=ma; [f]=[M]¹[L]¹[T]^-2=кг·м·с^-2=Н.

Группой независимых параметров объекта (процесса) называется такая группа, в которой размерность ни одного параметра не может быть получена из размерностей других параметров. Например, параметры m (масса), x (перемещение), υ (скорость) образуют группу независимых параметров, а группа m, f, a является группой зависимых параметров →f-ma=0.

Критерии определяются следующим образом: разделим параметр на группы независимых и зависимых. Независимыми являются i,R,T; зависимыми являются L,U. Тогда в конечном итоге имеем: . Причем ,

В результате формальная запись теоремы принимает вид: O=f(1,1,1,π₁,π₂).

Третья теорема подобия (теорема Кирпичева-Гухмана): необходимым и достаточным условиями для создания подобия явля­ются: а) пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности; б) равенство критериев подобия сопостав­ляемых явлений (процессов).

Аналоговое моделирование. Терминология. Последовательность действий при моделировании. Положения, используемые при переходе от одной системы к другой.

Для аналог мод-я характерно наличие систем разной физической природы, которые подчиняются одним и тем же законам. Это позволяет изучить какую-нибудь систему одной природы по системе другой природы, которая является эквивалентом первой. При этом нужно соблюдать последовательность действий:

1) необходимо опред-ть физич. систему, которая наиболее полно с наименьшими затратами позволяет изучать данную систему;

2) для выбора системы составляют эквивалентную схему;

3) установить связи между этими физическими системами;

При формировании эквивалентных схем используют следующие положения:

При составлении эквивалентных схем однородных физических подсистем используются следующие положения:

1. Каждую систему можно представить в виде узлов или элементов; узлы системы устанавливают связь между элементами системы. Элементы м.б. двухполюсными - простые, многополюсные - сложные. Многополюсные представляются в виде простых элементов.

2. Состояние узла характеризуется фазовой переменной типа потенциал.

3. Состояние элемента описывает фазовой переменной двух типов: типа поток и типа разность потенциалов.

4. Мат модель двухполюсника представляет собой компонентное уравнение, которое связывает между собой либо фазовые переменные, относящиеся к данному двухполюснику, либо одну из этих переменных с некоторой величиной, в качестве которой могут выступать компоненты времени, фазовые переменные других элементов.

При аналоговом моделировании объект и модель имеют разную физическую природу, но подчиняются единым законам и описываются одинаковым мат. уравнением.

Для каждого двухполюсника можно записать компонентное уравнение

I=f(x) - компонентное уравнение потока;

U=F(x) - разность потенциалов;

I=U/R – сопротивление;

I=C*dU/dt – емкость;

U=L*dI/dt – индуктивность;

5. Уравнение, которое обеспечивает связь между элементами системы, называется топологическим.

а) уравнение равновесия (усл-я равновесия в узлах)

б) условие переразрядности в замкнутом контуре

Понятие системы. Свойства системы. Типы систем. Характеристики систем.

Физич сист-ма котор мы управляеем наз объкт упр-я его долж описать матем–ки, а закономерности кот подчиняются процессы управления общие для объекта упр-я люб природы поэт мож рассм их общ структ и некое общее мат описание проц упр-я Объект предст не отдельн эл-т, а некую сист-у.

Св-ва системы

Если выполн эти св-ва то это система

1.Целостность и членимость

система – целост совокуп-ть элементов => сист с одн стор целостное образование с др в нем мож выделить отдел элем-ты (выделен-е элем-ты функц-т лишь в данной системе)Для любой сист первичн явл признак целостности т.е. она предст собой что – то еденое целоесостоящ из взаимод-х частей

2.Наличие связей – характерно наличие устойчивых связей между элем-ми или их св-ми превосх по силесвязи с др элем-ми не входящ в дан сист. Особ-ть связи – преобр-е некот велич без изм-я их физич природыОсн харак связи:

*физич наполнение св.(прир св.: инфо, физич, энерг-го поля)*направлен-ть связи(прям, обрат, конрсвязь)*Мощ-т

3.Организация св. – формиров сущест св-й элем-в благодаря их упорядоч распр. во времени и в прост-еПри организ св склад определ структура сист-ы, а св-ва элементов перех в ф-ии

4 Интегратив-е(объедин) качества –св-во кот присуще системе в целом, но не свойствен ни одному из элем сист в отдельности

т.е.сист не сводит к прост совок-ти эл-в и при расчлен сит на элем мы (изуч их св-в)не смож позн св-во сист в целом

Типы систем

1Естественные - сущест в дейст-ти (солнеч, организм)

2.Идеальная – отражает упрощенно действит системы

3.Искуственные сист –ы созд чел-м напр плотина

Характеристики систем

1.Поведение – способ-ть сист-ы перех из одн-го сост в др

2.Равновесие – сп-ть сист при отсут внешн воздейств сохр свое состояние как возможно долго

3.Устойчив-ть-сп-ть сист возвращ в сост равновесия после того как она была вывед из него под дейст-м как-либо возмущений

Понятие управления. Общее уравнение управления. Критерий качества управления. Оптимальное управление. Причины приближенного решения задач моделирования управления. Основные положения при разработке систем управления.

Состояние системы может зависеть от неконтролируемых параметров. Они определяются внешними воздействиями. На них повлиять нельзя. v₁...v_L. неv – совокупность возмущений. Они могут быть ограничены. Пространство может быть любое. Можно производить целенаправленные воздействия u¹…u^r

Их совокупность неu называется управляющим воздействием или управлением. Все они подвержены ограничениям. неu принадлежит U. U – множество всех допустимых управлений.

неx – вектор состояния системы. q=q(неx,неu,неv). Величина q будет выражать цель управления.

Задача управления имеет множество решений. Имеется много способов организации процесса управления для достижения цели. Главная задача управления – найти хотя бы 1 из способов. Часто этого мало, а надо из множества решений выбрать такое, которое является оптимальным.

Некоторые величины, используемые в управлении в силу физических особенностей не могут или не должны превосходить конкретных пределов. Математически они выражаются в виде систем уравнений или неравенств. Математическое выражение, дающее оценку степени выполнения наложенных требований называют критерием качества управления.

Способ управления удовлетворяющий требованиям и ограничениям и обращающий в min критерий качества управления называется оптимальным управлением.

С математической точки зрения проблема управления состоит в том, чтобы найти вектор управляющих воздействий, обеспечивающий достижение цели при наличии ограничений. В этом виде задача явл идеальной, а на самом деле она может быть решена только приближенно. Причины:

• Точные управления связей обычно неизвестны и заменяются уравнениями мат модели.

• Неточность данных

• Ограничения являются приближенными

• Ошибки управления, связанные с реализацией управляющих воздействий

Основные положения при разработке систем управления:

• Для каждой системы д быть четко сформулирована цель и определено ее конечное состояние

• У кажд системы д быть свобода выбора движения к цели

• Чтобы выбрать наил из траекторий система д иметь способ их сравнения

Система управления д располагать определенными ресурсами которые обеспечивают реализацию управляющих воздействий и которые д будут вести систему по нужно траектории.

6. Решение систем линейных уравнений

СЛАУ m уравнений относительно n неизвестных имеет вид:

СЛАУ называется переопределенной, причем некоторые уравнения могут быть несовместны и тогда решения не существует.

Метод Гаусса

Цель прямого хода – привести матрицу исходного коэффициента к верхнему нулю. Цель обратного хода – получение значения неизвестных.

Рассмотрим один из возможных подходов на примере системы трех уравнений:

В этом подходе дополнительно введен контрольный вектор, дополнительный столбец, причем

Далее с элементами контрольного столбца производятся все те же действия, которые выполняются с элементами строк во время прямого хода метода Гаусса. В результате получаем треугольную матрицу вида:

Если все вычисления во время прямого хода происходили без погрешности, то должны были бы выполняться следующие соотношения:

Если эти соотношения выполняются, то …, если нет, то необходимо вычислить контрольные решения:

После этого осуществляется обратный ход метода Гаусса и проверяется:

Если эти равенства не выполняются, то можно оценить абсолютную погрешность:

Заранее задав допустимый значением погрешности, можно принять решение об удовлетворении или неудовлетворении точности вычислений. Если в результате точность оказывается неудовлетворительной, то формируют новую систему уравнений:

Результатом решений этих уравнений будут поправки и тогда окончательное решение можно представить в виде:

Метод простых итераций.

Пусть исходная система вида AX=B каким либо образом приведена к виду: X=CX+F, где C – матрица известных коэффициентов, F – столбец свободных членов коэффициентов, X – неизвестный вектор.

Зададимся некоторым начальным значением X:

Тогда на первом шаге имеем:

Получив таким образом вектор: и т.д.

В качестве критерия остановок используют соотношения:

Условием сходимости метода является: модуль элементов строк матрицы C не должна превышать единицы.

7.Решение нелинейных уравнений

Решение НАУ подразумевает последовательное выполнение двух основных этапов:

1. отделение корней;

2. уточнение корней до заданной степени точности.

Корень x* ур-ния f(x)=0 считается отделенным на отрезке xЄ[a;b], если этот корень заведомо единственный. Таким образом, отделение корней сводится к разбиению области допустимых значений ф-ции f(x) на такие отрезки, в каждом из которых содержится только один корень.

В основе отделения корней лежат две теоремы:

Теорема 1: Если ф-ция f(x) непрерывна на [a;b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы один корень.

Теорема 2: Если ф-ция f(x) непрерывна и монотонна на [a;b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится только один корень уравнения f(x)=0.

Если же ф-ция на концах отрезка имеет одинаковые знаки, то возможны три случая:

Уточнение корней методом хорд.

Уравнение хорды:

Мы предполагаем, что точка c является корнем уравнения, т.е. предполагаем, что x*=c, тогда f(x*)=f(c)=0. Тогда имеем:

Если f(c)=0, то, следовательно, c – корень, если нет, то из двух отрезков [a;c] и [c;b] выбираем тот, на концах которого ф-ция f(x) принимает значения разных знаков. Получим новый отрезок [a₁;b₁], для него аналогично ищем точку c₁. Затем отрезок [a₂;b₂] и точку c₂ и так до тех пор, пока на шаге n не будет выполняться условие: |b_n-a_n|≤ε

Можно считать, что найденная точка c_n – корень ф-ции f(x) с точностью ε. Погрешность вычисления корня не превышает: |ξ-c_n|≤|c_n-c_n-1|.

Метод касательных.

Для того, чтобы построить касательную, необходимо, прежде всего, выбрать точку a или b. Строго математически выбор осуществляется исходя из соотношения signf’(x)=signf’’(x)).

Ур-ние касательной, проходящей через точку, имеет вид: f(x)=f’(a)(x-a)+f(a).

Если предположить, что т. c является искомым корнем, т.е. f(c)=0, то имеем соотношение: .

По сравнению с методом хорд метод касательных сходится значительно быстрее, но его применение предельно ограничено необходимостью вычисления значений первой производной.

Решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации. Метод покоординатного спуска. Метод градиентного спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска. Метод Ньютона.

Общий вид СНАУ можно записать следующим образом:

Для решения СНАУ, прежде всего, нужно выбрать начальную точку, т.е. некий вектор . Выбор произволен, но от его качества зависит сходимость численного метода. После этого строится вычислительная процедура, основанная на разложении ф-ции в ряд Тейлора.

Имеем:

Продолжая дальше:

Предполагая, что в т. все n ф-ций равны нулю, получаем систему линейных алгебраических ур-ний относительно ∆x. Определив ∆x_i, осуществляем переход к новой точке:

Практическое использование этого метода вызывает огромные сомнения, т.к. на каждом шаге приходится вычислять n² частных производных, что возможно только при наличии аналитических выражений.

Итог: как правило в инженерных расчетах нелинейные ур-ния линеализируют. Для этого используются специальные методы, в частности методы сплайнов.

Методы спуска

Основная идея методов спуска состоит в том, чтобы построить алгоритм, позволяющий перейти из точки начального приближения в следующую точку таким образом, чтобы значение целевой функции приблизилось к минимальному.

Метод покоординатного спуска

Этот метод является редукцией поиска функции многих переменных к последовательности поиска минимумов функции одной переменной. Пусть — начальное приближение к минимуму Φ(u).

Рассмотрим как функцию одной переменной u₁ при фиксированных и находим одним из приведенных методов поиска минимума функции одной переменной

Полученное значение u₁, доставляющее минимум Φ(u₁), обозначим ; при этом

Далее, при фиксированных значениях ищем

как функции от u₂; соответствующее значение u₂ обозначим ; при этом

Этот процесс продолжаем аналогичным образом и для оставшихся координат; в результате получим

Таким образом, переходим из точки u₀ в точку u₁. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода из итераций, например:

где ε > 0 — заданная точность.

Метод градиентного спуска

Напомним, что градиент функции

есть вектор, ортогональный линиям уровня целевой функции, а его направление совпадает с направлением наибольшего роста Φ(u) в данной точке. В точке минимума grad Φ(u) = 0.

Построим итерационный процесс следующим образом:

где τ — шаг спуска (итерационный параметр). Итерации продолжим до выполнения заданного условия окончания процесса поиска минимума, например

Метод наискорейшего спуска

В методе градиентного спуска выберем шаг τ так, чтобы функция Φ(u) максимально уменьшала свое значение:

В предыдущем примере выбор шага в точке u₀ сводится к задаче о поиске минимума функции

откуда τ = 10/9, поскольку

На следующих шагах τ будет зависеть от .

Метод Ньютона.

Для решения системы методом Ньютона необходимо уже иметь приближенное решение данной системы, найденное каким-либо грубым методом. Нелиней­ные уравнения системы линеаризуются путем разложения их в ряд Тейлора в точке X , ограничиваясь членами 1-го порядка малости.

В начале надо близко задать X⁰. Метод основан на разложении в ряд Тейлора. Матрица А д быть невырожденной.

A⁰ * дельта неX⁰ + неL⁰ = 0 – система в векторном виде

неX¹ = неX⁰ + дельта неX⁰

модуль дельта неX^k д быть меньше E. Это условие окончания. X^* = X^k.