Вопрос 11 Дизьюнкция.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое бу¬дет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Применяемые обозначения: А или В,    А V В,    A or B.

Результат операции ИЛИ опреде¬ляется следующей таблицей истинности:

A	B	А или B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

Приведем примеры логического сложения.

1.  Рассмотрим высказывание «В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого». Это высказывание формально мож¬но представить так: С = А ˅ В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.

Приоритет логических операций:

1) А нверсия; 2) С & D онъюнкция; 3) A v В изъюнкция; 4) A → B мпликация; 5) A ↔ В квивалентность

Вопрос 12 импликация

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Приведем примеры операции следования.

1.  Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро. Приоритет логических операций:

1) А нверсия;

2) С & D онъюнкция;

3) A v В изъюнкция;

4) A → B мпликация;

5) A ↔ В квивалентность

Вопрос 13. Законы алгебры логики. Свойства операций . Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы е сказуемому или использования оборота речи "неверно, что ,,,".

Мнемоническое правило: слово нверсияот лат. inversio ереворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль. Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера енна.

В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.

Близость законов алгебры высказываний к законам алгебры множеств можно продемонстрировать следующим образом. С одной стороны, каждое множество может быть описанолибо при помощи прямого перечисления его элементов, либо путем указания свойства, которому должны удовлетворять все элементы данного множества и только эти элементы. Так, можно говорить о множестве, состоящем из четырех студентов: Пети, Гали, Коли, Оли, или о множестве отличников данной студенческой группы, имея в виду в обоих случаях одно и то же множество. С другой стороны, выбрав какое-то высказывание, можно рассмотреть множество всевозможных объектов, к которым это высказывание относится, и выделить из него подмножество, для элементов которого это высказывание будет истинным (множество истинности высказывания). Так, множество истинности высказывания Этот студент тличник для рассмотренной выше студенческой группы будет включать в себя ту же четверку студентов. Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза "и".

На автостоянке стоит ерседесr> На автостоянке стоит игули/em>

На автостоянке стоят ерседес игулиem>

Конъюнкция то логическое умножение, равенства 0 0 = 0; 0 = 0; 1 = 0; 1 = 1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции. В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения множеств. Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза лиr>

В русском языке союз лиспользуется в двояком смысле. Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз лизят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

На автостоянке стоит ерседесr> На автостоянке стоит игули/em>

На автостоянке стоит ерседесли игулиem>

Дизъюнкция то логическое сложение, равенства 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0=1, верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 1 v 1 = 1.

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи "если..., то... ".

Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

Законы алгебры логики базируются на аксиомах и позволяют преобразовывать логические функции. Логические функции преобразуются с целью их упрощения, а это ведет к упрощению цифровой схемы.

АКСИОМЫ алгебры логики описывают действие логических функций "И" и "ИЛИ" и записываются следующими выражениями:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1 0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Всего имеется пять законов алгебры логики:

1. Закон одинарных элементов

1 * X = X

0 * X = 0

1 + X = 1

0 + X = X

Этот закон непосредственно следует из приведённых выше выражений аксиом алгебры логики.

Верхние два выражения могут быть полезны при построении коммутаторов, ведь подавая на один из входов элемента “2И” логический ноль или единицу можно либо пропускать сигнал на выход, либо формировать на выходе нулевой потенциал.

Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов многоразрядного числа. При поразрядном применении операции "И" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда:

В приведённом примере отчётливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске (нижнее число) на месте соответствующих разрядов записаны нули, в остальных разрядах записаны единицы. В исходном числе (верхнее число) на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции "И" на этих местах появляются нули. На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль. Остальные разряды, как и требовалось по условию задачи, не изменены.

Точно так же можно записывать единицы в нужные нам разряды. В этом случае необходимо воспользоваться нижними двумя выражениями закона одинарных элементов. При поразрядном применении операции "ИЛИ" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды нулевой или единичный потенциал. Пусть требуется записать единицы в 7 и 6 биты числа. Тогда:

Здесь в маску (нижнее число) мы записали единицы в седьмой и шестой биты. Остальные биты содержат нули, и, следовательно, не могут изменить первоначальное состояние исходного числа, что мы и видим в результирующем числе под чертой.

Первое и последнее выражения позволяют использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве логических элементов с меньшим количеством входов. Для этого неиспользуемые входы в схеме "И" должны быть подключены к источнику питания, как это показано на рисунке 1:

Рисунок 1. Схема "2И-НЕ", реализованная на логическом элементе "3И-НЕ"

а неиспользуемые входы в схеме "ИЛИ" должны быть подключены к общему проводу схемы, как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Схема "НЕ", реализованная на элементе "2И-НЕ"

2. Законы отрицания

a. Закон дополнительных элементов

Выражения этого закона широко используется для минимизации логических схем. Если удаётся выделить из общего выражения логической функции такие подвыражения, то можно сократить необходимое количество входов элементов цифровой схемы, а иногда и вообще свести всё выражение к логической константе.

b. Двойное отрицание

c. Закон отрицательной логики

Закон отрицательной логики справедлив для любого числа переменных. Этот закон позволяет реализовывать логическую функцию "И" при помощи логических элементов "ИЛИ" и наоборот: реализовывать логическую функцию "ИЛИ" при помощи логических элементов "И". Это особенно полезно в ТТЛ схемотехнике, так как там легко реализовать логические элементы "И", но при этом достаточно сложно логические элементы "ИЛИ". Благодаря закону отрицательной логики можно реализовывать элементы "ИЛИ" на логических элементах "И". На рисунке 3 показана реализация логического элемента "2ИЛИ" на элементе "2И-НЕ" и двух инверторах.

Рисунок 3. Логический элемент "2ИЛИ", реализованный на элементе "2И-НЕ" и двух инверторах

То же самое можно сказать и о схеме монтажного "ИЛИ". В случае необходимости его можно превратить в монтажное "И", применив инверторы на входе и выходе этой схемы.

3. Комбинационные законы

Комбинационные законы алгебры логики во многом соответствуют комбинационным законам обычной алгебры, но есть и отличия.

a. закон тавтологии (многократное повторение)

X + X + X + X = X

X * X * X * X = X

Этот закон позволяет использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве логических элементов с меньшим количеством входов. Например, можно реализовать двухвходовую схему "2И" на логическом элементе "3И", как это показано на рисунке 4:

Рисунок 4. Схема "2И-НЕ", реализованная на логическом элементе "3И-НЕ"

или использовать схему "2И-НЕ" в качестве обычного инвертора, как это показано на рисунке 5:

Рисунок 5. Схема "НЕ", реализованная на логическом элементе "2И-НЕ"

Однако следует предупредить, что объединение нескольких входов увеличивает входные токи логического элемента и его ёмкость, что увеличивает ток потребления предыдущих элементов и отрицательно сказывается на быстродействии цифровой схемы в целом.

Для уменьшения числа входов в логическом элементе лучше воспользоваться законом одинарных элементов, как это было показано выше.

b. закон переместительности

A + B + C + D = A + C + B + D

c. закон сочетательности

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. закон распределительности

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /докажем это путём раскрытия скобок/ =

= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)