шпоры по матану / 46407712-31
.pdf31.Теорема Лагранжа и следствия из неё.
Теорема:
Пусть:
1) f x определена и непрерывна в замкнутом промежутке |
[a ,b ] , |
||
2) существует конечная производная |
f ' x , по крайней мере, в открытом |
||
промежутке a , b . Тогда между a и b найдется такая точка |
c a c b , |
||
что для нее выполняется равенство |
f b − f a |
= f ' c . |
|
|
|
||
|
b−a |
|
|
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке [a ,b ]
равенством: F x = f x − f a − |
f b − f a |
x−a . |
|
b−a |
|||
|
|
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она
непрерывна в |
[a ,b ] , так как представляет собой разность между |
||||||||
непрерывной функцией |
f x |
и линейной функцией. В промежутке a , b |
|||||||
она имеет определенную конечную производную, равную |
|
||||||||
|
F ' x = f ' x − |
f b − f a |
. |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
b−a |
|
|
|
||
Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что |
|||||||||
|
F a =F b =0 , т. е. |
F x |
принимает равные значения на концах |
||||||
промежутка. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, к функции |
F x можно применить теорему Ролля и |
||||||||
утверждать существование в |
a , b такой точки с , что |
F ' c =0 . |
|||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
||||
|
f ' c − |
f b − f a |
=0 |
, |
|
|
|||
b − a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f b − f a |
= f ' c . |
|
|
|
|
|||
|
b − a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема доказана.
Геометрический смысл.
Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Построим график функции
y= f x на |
[а ,b ] , A a , f a , B b , f b . |
|
||
Угловой коэффициент хорды |
|
|||
AB : k AB = |
f b − f a |
, угловой коэффициент касательной в т. |
С : |
|
|
||||
k кас= f ' c . |
b−a |
|
||
Таким образом, на графике функции |
|
|||
y= f x C c , f c , c a ,b :k кас=k AB ,
Следствие1: Пусть на интервале |
a , b |
функция |
f x |
имеет |
|||||||||
производную |
f ' x |
, тождественно равную 0: |
f ' x =0 x a , b . |
||||||||||
Тогда |
f x =const |
|
на интервале |
a , b . |
|
|
|
|
|||||
Доказательство: Заметим для начала, что непрерывность функции |
|||||||||||||
f x |
в любой точке интервала |
a , b |
|
следует из дифференцируемости в |
|||||||||
этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции |
f x на |
||||||||||||
любом отрезке [x1 , x2 ] a , b . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Возьмём любые две точки |
x1 , x2 a , b |
, такие что |
x1 x2 , и выпишем |
||||||||||
для функции |
f x |
на отрезке |
[x1 , x2 ] |
формулу конечных приращений: |
|||||||||
f x2 − f x1 = f ' x0 x2−x1 |
, при некотором |
x0 x1 , x2 |
. Но в |
||||||||||
любой точке производная по предположению равна 0, в том числе |
|
||||||||||||
f ' x0 =0 |
. Отсюда |
f x2 − f x1 =0 |
, или |
f x2 = f x1 |
. Обозначим |
||||||||
это общее значение через |
c . Выбирая произвольно точку |
x=x2 x1 , |
|||||||||||
получим, что |
f x =c |
при всех |
x x1 |
; выбирая произвольно точку |
|||||||||
x=x1 x2 |
,- что |
f x =c при всех |
x x2 . Но это означает, что |
||||||||||
f x =c при всех |
x a ,b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие2: Пусть функции |
f x |
и g x непрерывны на [a ,b ] |
|||||
и диф-мы на a , b , и пусть на |
a , b |
: |
|
|
|
||
f ' x =g ' x |
,следовательно |
f x =g x c ; |
|
|
|
||
Доказательство: h x = f x −g x следовательно, |
|||||||
h x =const ; |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие3: Пусть f x |
и g x |
непрерывны на |
[a ,b ] и диф-мы |
||||
на a , b , то если f a ≥g a |
и для любого x , принадлежащнего |
||||||
a , b |
f ' x ≥g ' x , следовательно для любого x |
,принадлежащего |
|||||
(a;b], |
f x ≥g x . |
|
|
|
|
|
|
Замечание:если одно из исходных неравенств строго, то |
f x g x . |
||||||
Доказательство: рассмотрим h x = f x −g x |
, то |
||||||
h a ≥0 ; h' x = f ' x −g ' x ≥0 . Возьмём любое |
x |
из |
[a ,b ] , на |
||||
отрезке |
a , x |
выполнены условия т. Лагранжа; существует |
x |
||||
принадлежащее |
a , x : h x −h a =h' x x−a |
|
|
|
|||
|
|
h x : h a h' x x−a ≥0 |
|
|
|
||
следовательно, |
f x ≥g x . |
|
|
|
|
|
|