шпоры по матану / 46407700-29
.pdf
29.Экстремумы функции.
Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Опр. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0 (a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено
неравенство f(x)≤ f(x0).
Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).
Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.
Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0) в некоторой проколотой окрестности точки
x0 .
Теорема. ( Необходимый условие экстремума )
Если x0 – точка экстремума функции f и существует f′ (x0), то f′ (x0)=0. Доказательство. Теорема Ферма.
Теорема Ферма о нуле производной
Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0 a , b , принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение,
то f'(x0)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для случая наименьшего значения |
|
|
|
|||||
f'(x0+0)= |
lim |
f (x) − f (x0 ) |
≥0 , |
f'(x0-0)= |
lim |
f (x) − f (x0 ) |
≤0 |
|
f'(x0)=0 |
x→ x0 +0 |
x − x0 |
|
|
x→ x0 −0 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическая интерпретация |
|
|
|
|
|
|||
Определение. Точка, в которой f′ (x0)=0 называется стационарной точкой. Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум
следует искать среди стационарных точек.
Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )
f непрерывная в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки
x0 функция f(x) дифференцируема и f¢ (x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка экстремума ( строгого ), причем
производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум, производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.
Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-d , x0] и на [x0, x0+d ].
Замечание. Если f непрерывна в x0 , дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем
f¢ (x)£ 0 на (x0-d , x0),
f¢ (x)³ 0 на (x0, x0+d ),
то в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:
f¢ (x) ³ 0 на (x0-d , x0),
f¢ (x) £ 0 на (x0, x0+d ).
Пример. |x|.
Теорема ( Второе достаточное условие экстремума )
Пусть x0 – стационарная точка функции f и $ f¢ ¢ (x0)¹ 0, тогда, если f¢ ¢ (x0)>0, то в точке строгий минимум
f¢ ¢ (x0)<0, то в точке строгий максимум Доказательство. Пусть f¢ ¢ (x0)>0,
lim |
f '(x) − f '(x0 ) |
= f ''(x0 ) > 0 |
|
||
x→x0 |
x − x0 |
|
Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство
f '(x) − f '(x0 ) |
> 0 , или |
f '(x) |
> 0 . Тогда для x > x0 будет выполнятся неравенство |
|
|
||
x − x0 |
x − x0 |
||
f¢ (x) > 0 , а для x < x0 будет f¢ (x) < 0, обеспечивающее выполнение достаточных условий для экстремума.
Аналогично для случая f¢ ¢ (x0)<0.