шпоры по матану / 46407690-27

27. Теорема о производной обратной функции.

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(y0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0),

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференциируема в точке y0,

то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. lim Δx =b .

Δy 0 Δy

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде y ' x= x1' y .

Функция sin.

y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале

– π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

y ' x= x1' y = cos1 y .

Но на (–π/2; π/2) cos y= 1−sin2 y= 1−x2 . Поэтому

Функция tg.

y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg

y монотонна. По ранее доказанному x ' = cos12 y .

Функция e.

y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что x ' y= ln y ' = 1y . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

y ' x= x1' y = y=ex

Итак, ex ' =e x