шпоры по матану / 46407669-25
.pdf
25.Понятие производной и дифференциала функции.
Производная.
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки x0 определена функция
f :U x0 Производной функции называется такое число , что |
|
функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде |
|
|
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) |
если |
существует. |
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки x0 определена функция
f :U x0 Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Физический смысл производной
Рассмотрим задачу об определении скорости движения точки. Пусть материальная точка совершает неравномерное прямолинейное движение по
закону s=s t , где t обозначено время, s — путь. Средняя скорость движения за время t будет
V = |
s |
= s t t −s t |
|
ср |
t |
|
t |
Чем меньше t тем точнее V ср будет характеризовать скорость в момент времени t, поэтому скоростью в момент времени t называют
v t = lim s
t 0 t
Перейдем теперь к основному понятию высшей математики — понятию
производной.
О: Пусть f x определена в окрестности т. х. Тогда, если
lim |
y |
= lim |
f x x − f x |
≠∞ ,то он называется производной |
|
x |
|||||
t 0 |
x |
t 0 |
|
функции f x и обозначается f ' x Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Другие обозначения производной: y ' , y ' x , dydx .
О: (Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (а, b), называют дифференцируемой на интервале {а, b).
Сравнивая формулу скорости движения точки и определение производной, получаем физический смысл производной:
v t =s ' t ,
т.е. скорость прямолинейного неравномерного движения равна производной от пути по времени.
Геометрический смысл производной
В определение производной входят две операции: деление
f x0 x − f x0 |
и предельный переход при x 0 . Что же это дает? |
|
x |
||
|
Нанося на график точки с координатами ( x0 , f x0 ) и ( x0 x ,
f x0 x ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через
эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь
|
f x0 x − f x0 |
есть не что иное как |
tg , где |
есть угол наклона |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
секущей к оси OX. |
|
|
|
|
Но, в определении производной есть еще предельный переход при x 0 . Что же дает этот предельный переход?.
При x 0 точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол ' при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью OX. Поэтому можно утверждать, что
f ' x0 =tg
гд е угол, образованный касательной к кривой в точке 
и осью OX.
Дифференциал.
Напомним, что величина 
называется приращением функции.
Определение 1. Функция f x называется дифференцируемой в точке , x если ее приращение можно представить в виде
f x =A x o x
Определение 2. Линейная часть приращения функции, т.е. A x называется дифференциалом функции f x и обозначается df x
df x =A x
Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть f x =x3 . Тогда
f x = x x 3−x3=3x3 x 3x x2 x 3
Заметим, что f x содержит слагаемое, линейное по x , слагаемые сx2 и x3 . Так вот, только слагаемое, линейное по x дает дифференциал, т.е.
df x =3x2 x