
Шпоры по матану 2011-2012 / матан шпоры 5
.docxПервый замечательный предел
.
ДОК. (см. рис) Для
всех
справедливы неравенства :
(
- длина дуги АВ1
, а
- длина дуги катета АВ) и
.
Функция
б.м.ф. в точке
и поэтому, на основании теоремы о
промежуточной функции,
также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи
.
Площадь
ОАВ
,
площадь сектора АОВ1
,
площадь ОА1В1
.Справедливо
неравенство : площадь
ОАВ< площадь
сектора ОАВ< площадь ОА1В1
.
По
доказанному
,
поэтому на основании теорем о промежуточной
функции и арифметической теореме о
пределах
.
ПРИМЕР. Вычислить
.
РЕШЕНИЕ.
.
Второй замечательный предел
.
ДОК. (1) Пусть
произвольная последовательность,
,для
которой
.
Тогда
и для каждого n
найдутся
натуральные числа
или
.
Справедливо неравенство
.
Последовательности
и
сходятся к числу e
, поэтому на
основании теоремы о промежуточной
последовательности
по Гейне, а значит и по Коши.
(2) Пусть
- произвольная последовательность,
,
для которой
.Обозначим
.
Тогда
.
Обозначим
.Тогда
и
.
Из доказанного в (1) следует, что
.
СЛЕДСТВИЯ (1)
.
ДОК.
(2)
.
ДОК. Замена
.
.
Эквивалентные
бесконечно малые
и
называются эквивалентными, если
.
Обозначение
.
Отношение эквивалентности транзитивно:
,
,
то
и
симметрично:
.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0 .
(1)
(2)
, (3)
,
4)
,
(5)
(6)
,
(7)
(8)
,(9)
,
(10)
ДОК. Формулы (1)-
(3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются
из них переходом к основанию
e
, сделав
замену
и
,
(5) – аналогично, (10)
.
Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную
Если бесконечно
малые функции
,
в точке
,
и существует
,
то
.
ДОК.
.
ТЕОРЕМА 2. (о связи эквивалентных бесконечно малых)
Если две бесконечно
малые функции
и
эквивалентны в точке
,
то
.
Если бесконечно малые функции
и
связаны соотношением
,то
они эквивалентны.
ДОК.(1)
(2).
Непрерывность функции в точке. Арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность сложной функции.
ОПР.
Функция
непрерывна в точке
,
если
.
ОПР.
(эквивалентное).Функция
непрерывна в точке
,
если ее приращение
-
БМФ в точке
.
(здесь
)
ДОК. Эквивалентность определений следует из теоремы о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
Т1. (арифметическая теорема о непрерывных функциях)
Пусть
функции
и
непрерывны в точке
.
Тогда сумма
,
произведение
,
и частное
,
(
-
непрерывные функции в точке
.
ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах.
ОПР.
Пусть заданы две функции
и
,
точка
..
Тогда функция
,
определенная по правилу
,
называется композицией функций
и
или сложной функцией.
Т2. (о непрерывности сложной функции)
Если
функция
непрерывна в точке
,
функция
непрерывна в точке
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
ДОК. Из условия теоремы
и
Тогда
и
.