Шпоры по матану 2011-2012 / матан шпоры 3

Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи сходящейся и бесконечно малой последовательностями.

ОПР.Последовательность называется бесконечно малой, если .

ОПР. Последовательность называется бесконечно большой, если .

В этом случае : .

ТЕОРЕМА 2. (о связи сходящейся последовательности с бесконечно малой последовательностью)

Если сходящаяся последовательность, имеющая пределом число А, то существует бесконечно малая последовательность , такая, что .

ДОК. Проверим, что последовательность бесконечно малая. , т.е. .

Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями.

Если последовательность бесконечно большая, то последовательность -бесконечно малая последовательность (б.м.п). Если - бесконечно малая последовательность и , то - бесконечно большая последовательность(б.б.п).

ДОК. По условию последовательность бесконечно большая: ,

т.е. последовательность бесконечно малая.

Если б.м.п., то Арифметические теоремы о пределах

Пусть и - две сходящиеся последовательности:

, .

Тогда (1) (2) ,

(3) , .

ДОК.(3) , , где , б.м.п. (теорема) 2) Если , то последовательность ограничена. Тогда . Последовательность б.м.п. и б.м.п. (теорема 4). Тогда по теореме 2.

Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о промежуточной последовательности.

ТЕОРЕМА 6. ( о переходе к пределу в неравенствах)

Пусть (1) , - сходящаяся последовательность.

Тогда . Пусть (2) и - две сходящихся последовательности, причем . Тогда .ДОК. (1) . Предположим противное :.Тогда для , что противоречит условию (1) теоремы.

(2) для последовательности выполняются условия (1) теоремы, тогда - .

ТЕОРЕМА 7 (о промежуточной последовательности)

Пусть (2) , , - две сходящиеся последовательности, причем .Последовательность удовлетворяет неравенству : . Тогда.

ДОК. ,т.е. .