Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Шпоры по матану 2011-2012 / матан шпоры 8

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

148.41 Кб

Скачать

☆

Производная обратной функции.

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную . Тогда обратная функция имеет производную в точке и

ДОК.

Производная сложной функции.

Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и

ДОК.

где и - б.м.ф. Тогда

и , где б.м.ф. в точке .

Тогда .

П.3 Таблица производных элементарных функций.

(1) (2) . (3)

(4) (5) .

6) (7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

(13)

ДОК.

(10)

(11) .

(12) (13)

(1)

(2) =.

(3) .

(4) .

(6) .

(7)

(8)

(9) (5) – самостоятельно.

Дифференциал функции.

ОПР. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде:

, где - б.м.ф. в точке .

ОПР. Главная линейная часть приращения , величина , называется дифференциалом функции в точке .

ТЕОРЕМА 3.

Существование производной функции в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости.

ДОК. (1) Пусть функция дифференцируема. Тогда и .

(2) Если функция имеет производную , тогда по теореме о связи , где - б.м.ф., т.е. , при.

СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции имеет вид .

Функция имеет производную, равную 1, поэтому . Тогда

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , имеет вид:

Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на равно , т.е. значению дифференциала .

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.

Если - функция независимой переменной y , то ее дифференциал имеет форму . Если - сложная функция и , то

т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.

Теорема о связи функции, имеющей предел и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция имела предел в точке a равный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление : , где - бесконечно малая функция в точке a .ДОК. (1) Если , то функция б.м.ф.