6. Проекція вектора на вісь. Деякі вл-ті проекціі:

Q Через початок проведемо , тоді проекція на u наз. Число що дор.довж .

Пр(u)a=| *

U Q - гострий ( +) , тупий(-)

Вл-ть1: Пр(u)( Пр(u) + Пр(u)

Вм-ть: Пр(u)( λ* Пр(u)(

7-8.Лінійна залежність і незалежність векторів.Необхідна і достатня умова лінійної незалежності трьох вектрів.

Щоб вектори були лінійно залежними, необх. і дост. щоб вони були компланарні.

1). –Лін. Залежні.

, , – не дорівн. 0.

0 ; = - = - ;

= + з цієї рівності, вектор є діагоналлю паралелограма:

- зведені до одного початку,

о тже вони компланарні.

=0 - ці вектори лінійно залежні.

2). =0 - ці вектори лінійно не залежні.

8.Означення базиса.Розклад вектора за коорд.Базисом.Декартові прям.Коорд вектора.

Будь-яка впорядкована трійка некомпланарних векторів наз.базисом у просторі.

Числа λ1, λ2, λ3- наз.коорд.вектора ā в базисі a1,a2,a3, а саме ā= λ1 ā1+ λ2 ā2 + λ3 ā3 розкладений ā по базису a1,a2,a3.

Три однакові взаемоперпендикулярні вектори <ī, ĵ,ĸ> утв.базис, наз. Декартовим(прямокутним) базисом , тоді будь-як ā=А(х) ī+А(у) ĵ+А(z) ĸ={ А(х), А(у) , А(z) }-дек.коорд.вектора.

9.Скалярний добуток та його вл-ті.

О зн:Скал.добут. ā і b – наз.Число що позн. (ā, b)

ā b= |ā|*|b|* ā

b

ā b=|ā|*Пр(ā)b або ā b=|b|* Пр(b) ā

Вл-ті:

1)Комутативність ā b = b ā

2)Асоціативність ( ā)b= āb)

3)Дистрибутивність (ā +b)ĉ= ā ĉ+ b ĉ

4) ā b = ā b=0

10.Векторний добуток та вл-ті:

- Наз.вектор [ā b] або (ā* b), який задов:

1)Довж: |[ā b]|=|ā|*| b |*

2) [ā b] ā

[ā b] b

Властивості:

1. ā ||b = [ā b]=0

2. |[ā b]|=Sпар-ма

3. Антикомутат: [ā b]= - [b ā]

4. [ ā;b]= āb]

5. Дистрибутивність

[(ā +b),ĉ]= [ā ,ĉ]+ [b, ĉ]

векторний добуток-двох векторів назив.вектор, який позначається так [ab] або (а*b) і задовольняє такі умови:1) [ab]=a*b*sinD 2) [ab]перпен.a [ab]перпендик b.

3)напрями вектора визнач. правилом правої руки

Властивості: 1) і достатньою умовою колінеарних векторів є aIIb тобто[ab]=0

1част.)aIIb D=0 і D=П sin0=sinП=0

[[ab]]=0,а отже маємо нульовий вектор.

2част.) відомо що вект.добуток =0.

Є 2 варіанта: 1)серед a і b є нульовий, тобто [a]=0 або [b]=0. Тоді [[ab]]=0 доведено.

2) серед векторів немає нульового:[[ab]]=0 тобто sinD=0 D=0 D=П

Тобто вектори колінеарні.

11.Мішаний добуток трьох векторів назив. число що познач. авс = [ab]c

властивості :

1)геометрична: якщо а,в,с не компленарні ,то модуль їх мішаного добутка дорівнює об’єму паралелепіпеда побудованого на цих векторах

доведення:розгл.[ав]с=Sпар *cosD=+-V;

e-орт вектора вектор.добутка [ab] тобто перпенд ю площині де а=1 в=1 е=1

отже:S(+-h)=+-V

V=[[ab]c]=[abc]

Зауваження:Vтетр=1/6 abc

2) три вектори компленарні тоді коли їх міш.добуток=0

3)[ab]c=a[bc]

10.Скалярний добуток

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів   та   обчислюється за формулою:

де   та   є довжинами векторів, а   дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати:  =  .

Скалярним добутком двох векторів — називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.