3.Напрямлені відрізки. Система координат на площині та в просторі.

Система координат — спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней. Іншим обов'язковим елементом є одиниця довжини, яка дозволяє відраховувати відстані. Всі точки одновимірного простору можна задати при обраному початку координат одним числом. Для двовимірного простору необхідні два числа, для тривимірного - три. Ці числа називаються координатами.

Системи координат в елементарній геометрії — величини, що визначають положення точки на площині і в просторі. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих (координатних осей), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом; одна з координат називається ординатою, а інша — абсцисою. У просторі за системою Декарта положення точки визначається відстанями від трьох площин координат, що перетинаються в одній точці під прямими кутами одна до одної, або сферичними координатами, де початок координат знаходиться в центрі сфери.

4. Полярна система координат та її зв'язок і декартовою. Ділення відрізка в заданому відношенні М(ᵨ,ϕ)

М(х,у)

О ϕ

полярна система координат: Довільна точка на площині матиме координати l, ϕ , де l- довж відрізка, який зєднує точку з полярним полюсом, ϕ – кут між полярною віссю і відрізком ОМ , який ми відраховуємо протии годинникової стрілки.

звязок: початок відліку дек. сист. сумістимо з полярним полюсом і додатній напрям осі абсцисс сумістимо з полярною віссю , тоді т М матиме дек. коорд (х,у) і пол. корд (l,ϕ)

х = l cos ϕ для того щоб отримати зв'язок полярн. сист з дек. піднесемо до квадрату ліву і праву

y= l sin ϕ частини отриманх рівностей :

x² + y² = l²cos² ϕ + l²sin² ϕ

x² + y² = l²

tg ϕ= y/x, де знак tg залежить від чверті , в якій розташована точка в декартовій системі

5. Вектори, основні поняття. Лінійні операції над векторами та їх властивості. Напрямлені косинки вектора.

Геометричний вектор - величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Властивості

Ортогональність

Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Інколи замість цього терміну використовують "перпендикулярність", проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендекулярності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Колінеарність

Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Часто замість цього терміну використовують термін "паралельність", проте слід враховувати, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Рівність векторів

Нехай   i   — два вектори площини (або простору).Кажуть, що вектор | | дорівнює вектору  , і записують   =  , якщо: 1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD; 2)промені AB i CD однаково напрямлені.

Властивості додавання векторів

1) властивість нульового вектора: a+0=a; 2) асоціативність додавання: (a+b)+c=a+(b+c); 3) комутативність додавання: a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число

1) комутативність: λa=aλ;

2) асоціативність: λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів: λ(a+b)=λa+λb; 4) дистрибутивність відносно додавання чисел: (μ+λ)a=μa+λa;

|а|- довжина вектора, |a→|=sqrt(x²+y²+z²)

початок вектора- його точка прикладання

о – нульовй вектор, початок і кінець якого збігаються, в нього є довжина і немає напрямку.

3 вектори компланарні, якщо , будучи зведеними до спільного початку, вони лежать в одній площині

д ва вектори , які лежать на одній прямій, або на паралельних прямих – колінеарні

позначимо через α, β, γ кути, які утворюють а з осями оХ,оУ,оZ, тоді:

а_х= | а |*cos α

a_y= | а |*cos β

a_z= | а |*cos γ

cos α, cos β, cos γ - напрямні косинуси

cos² α+ cos² β + cos² γ =