5. Лду первого порядка

Уравнение вида: y’+P(x)*y=Q(x) (1)

где P(x) и Q(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

ДУ1 называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную в 1-й степени и не содержит y*y’.

При решении ЛДУ применяют 2 метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

При решении (1) воспользуемся подстановкой:

y=u(x)*v(x) (2)

дифференцируя (2) получим: y’=u’v+uv’ (3)

подставим (2) и (3) в уравнение (1), получим: u’v+uv’+P(x)*uv=Q(x)

или: v[u’+P(x)*u]+uv’=Q(x) (4)

Т.к. искомая функция y(x) представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно.

Выберем функцию u(x) так, чтобы выражение в [] = 0.

Для этого надо найти хотя бы одно частное решение: u’+P(x)*u=0 (5)

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

При таком выборе u уравнение (4) примет вид: uv’=Q(x) (6)

Решаем (5) и находим u(x)

u’+P(x)*u=0

du/dx=-P(x)*u ‌‌‌‌| dx/u

∫du/u=∫-P(x)dx

ln|u|= - ∫P(x)dx

u= e^(–P(x)dx ) (7)

При решении (5) находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0.

Подставим (7) в (6):

e^(-P(x)dx)*v’=Q(x)

dv/dx*Q(x)*e^(-P(x)dx) /dx

dv= Q(x)*e^(P(x)dx)*dx+C)

v= Q(x)*e^(P(x)dx)*dx+C) (8)

Подставим (7) и (8) в (2), получим общее решение исходного уравнения (1):

у=u*v=e^(–P(x)dx )*(Q(x)*e^(P(x)dx)*dx+C)

Замечание: при решении конкретных примеров чаще всего повторяют все выше приведенные выкладки, хотя можно использовать формулу (9).

______________________

6. Метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной)

Введем 2 новых понятия.

ЛУ (1) называется однородным, если Q(x)=0, и неоднородным в противном случае.

В методе вариации постоянных сначала находят общее решение однородного уравнения: y’+P(x)*y=0 (10)

соответствующему данному неоднородному уравнению (1).

Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными:

Du/dx = -P(x)*y | dx/y

∫dy/y= -∫P(x)dx+ ln|C1|

ln|y|=-∫P(x)dx + ln|C1|

y=C * e^(-P(x)dx) (11)

Теперь найдем общее решение уравнения (1) в виде (11), где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от x (в этом суть), т.е. в виде:

y=C(x)* e^(-P(x)dx) (12)

y’= C’(x)* e^(-P(x)dx)+ C(x)* e^(-P(x)dx)*(-P(x))

Подставляем y и у’ в уравнение (1):

C’(x)* e^(-P(x)dx)- C(x)* e^(-P(x)dx)*P(x)+ C(x)* e^(-P(x)dx)*P(x)= Q(x)

C’(x)* e^(-P(x)dx)= Q(x)

C’(x)= e^(P(x)dx)*Q(x) (13)

Т.о. чтобы функция (12) являлась решением уравнения (1) функция С(х) должна удовлетворять уравнению (13).

Интегрируя (13), находим:

C(x)= e^(P(x)dx)*Q(x)*dx+C1

Подставляя найденное выражение С(х) в уравнение (12), получаем решение линейного уравнения (1).

y=(e^(P(x)dx)*Q(x)*dx+C1)* e^(-P(x)dx)=C1* e^(-P(x)dx)+ e^(-P(x)dx)* e^(P(x)dx)*Q(x)*dx

y= C1* e^(-P(x)dx)+ e^(-P(x)dx)* e^(P(x)dx)*Q(x)*dx (14)

Замечание: Т.о. полученная формула (14) совпадает с ранее полученной формулой (9). Формула (14) слишком громоздкая, поэтому при решении конкретных примеров целесообразно каждый раз повторить все вышеприведенные методики.

______________________