30)Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит   , а    -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде   , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень   -ой степени из комплексного числа   . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если   , то   . Пусть   . Запишем число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- известные величины. Запишем неизвестное число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому   . В этом соотношении   и    -- положительные числа, следовательно   , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

31)Многочлены. Деление с остатком

Одночленом от некоторой буквы  x  называется алгебраическое выражение   ,  где  a – некоторое число,  x – буква,  n – целое неотрицательное число. Одночлен     отождествляется с числом  a,  т.е. числа мы можем рассматривать как одночлены.

Одночлены называются подобными, если показатели степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:  Это действие называется приведением подобных членов.

Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.

Любой многочлен от одной буквы  x  (ее часто называют переменной) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в виде    или по возрастающим степеням   Такая запись многочлена называется канонической.

В отличие от операций сложения и умножения многочленов операция деления многочлена на многочлен выполнима не всегда. Иными словами, если заданы многочлены A(x) и B(x), то не всегда найдется такой многочлен Q(x), что A(x)=Q(x)B(x).

Например, многочлен x³+3 не делится на многочлен x-3. Предположим иное, т.е. существует многочлен Q(x), x³+3=(x-3)Q(x). Тогда при замене x любым числом должно получиться верное равенство. Но при x=3 получаем: 3³+3=(3-3)Q(x), т.е. 30=0 - неверное равенство.

Для многочленов определяется операция деления с остатком: пусть A(x) и B(x) - многочлены с действительными коэффициентами, причем B(x) - не нулевой многочлен. Тогда существуют  такие многочлены Q(x) и R(x), что A(x)=B(x)Q(x)+R(x), причем степень многочлена R(x) меньше степени B(x).

При выполнении деления с остатком многочлена на многочлен часто бывает удобно применять метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что, когда известен вид искомых многочленов, но неизвестны их коэффициенты, заменяют в исследуемом тождестве эти многочлены их записью с неопределенными коэффициентами, приводят обе части равенства к стандартному виду, после чего приравнивают слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Это дает систему уравнений, позволяющую найти коэффициенты.

32)Теорема Безу и основная теорема алгебры

 При делении многочлена f (x) = A₀xⁿ + A₁x^n-1 + … + A_n на разность х – а получается остаток, равный f (а).    Доказательство. При делении f (x) на х – а частным будет многочлен f₁(x), степень которого будет на единицу ниже степени многочлена f (x) и остаток, который будет постоянным числом: f (x) = (х – а )·f₁(x) + R. Переходя к пределу в левой и правой части этого равенства при х → а, получим R =f(а).     Если х = а — корень многочлена, то f (а) = 0 и многочлен f (x) нацело делится на разность х – а и многочлен представляется в виде

f (x) = ( х – а )·f₁ (x),

где f₁ (x) — многочлен.