17) Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

1. Нормальное уравнение прямой

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а   - угол наклона этого перпендикуляра к осиOx. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель  , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.

2. Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

18) Взаимное расположение двух прямых

Взаимное расположение двух прямых       Если прямые заданы уравнениями   и   то они:

1. параллельны (но не совпадают) 

2. совпадают 

3. пересекаются 

4. скрещиваются 

     Если   то случаи 1 - 4 имеют место, когда (  - знак отрицания условия):

     1)    

     2)    

     3)    

     4)    

     Расстояние между двумя параллельными прямыми 

     В координатах

19) Плоскость в пространстве, виды уравнений

Определение. Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.

20) Взаимное расположение двух плоскостей.

Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.

1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28  || )

Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой  и   пересекаются по прямой a, a  и   - по прямой b).

Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.

22) Прямая линия в пространстве. Основные уравнения.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Параметрическое уравнение прямой линии

  Векторное уравнение (13.2) в координатной форме представляется следующим образом

Каноническое уравнение прямой линии в пространстве

  Исключив t из уравнения (13.3), разрешив их сначала относи-тельно t, а затем, приравняв правые части равенств, имеем:

Если какая – либо координата направляющего вектора равна нулю, то равен нулю и числитель дроби.