8) Решение систем линейных уравнений методом гаусса

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Если  , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Совокупность значения неизвестных переменных  , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

9)Векторы. Линейные операции над векторами

Определение 5.1. Вектором называется направленный отрезок.

 

Обозначения: a,  ,  .

 

Определение 5.2. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

 

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

 

Определение 5.3. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

 

Замечание. Таким образом, мы изучаем так называемые свободные векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно. Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединенными (связанными) и используются в некоторых разделах физики.

 

                                    Линейные операции над векторами.

 

Определение 5.4. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

                   b

                         a+b

a

 

                                       Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

10)Базисы на плоскости и в пространстве.

 Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 (см. п. 4) следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Пусть   любой вектор на плоскости, а векторы    и  образуют базис. Так как на плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор   линейно выражается через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение

.

Если вектор   представлен в виде (3), то говорят, что он разложен по базису образованному векторами   и  . Числа    и   называют координатами вектора   на плоскости относительно базиса   и 

1 . Разложение вектора   по   и   является единственным

Доказательство. Допустим, что наряду с разложением (3) имеет место разложение

Определение. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 (см. п. 5) следует, что три любых некомпланарных вектора образуют базис. Как и в случае плоскости, устанавливается, что любой вектор  разлагается по векторам  ,  и 

причем это разложение единственное.

Числа  ,   ,  называют  координатами вектора   в пространстве относительно базиса  ,  и  .

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.

Теорема . При сложении двух_векторов   и   их координаты (относительно любого базиса   и   или любого базиса   ,  и   ) складываются. При умножении вектора   на любое число, а все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть, например,

.

Тогда в силу свойств линейных операций (см. п. 2)

В силу единственности разложения по базису   , ,   теорема для этого базиса доказана.