4) Матрицы и действия над ними

Рассмотрим матрицу вида:

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = ( a_ij ); i = 1, 2, 3, .... , m ; j = 1, 2, 3, ....., n .

О. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0.

О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными, если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m ; j=1, 2, ..., n .

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) λ(A+B)=λA+λB A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC λ(AB)=(λA)B=A(λB) A(BC)=(AB)C (A')'=A

(λA)'=λ(A)' (A+B)'=A'+B' (AB)'=B'A'

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5) Ранг матрицы и способы его вычисления

Определение 1  Минором порядка   матрицы   называется определитель квадратной матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких-либо выбранных   строк и   столбцов матрицы 

Определение 2  В матрице   порядка   минор порядка   называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка   и выше равны нулю, или не существуют вовсе.

Определение 3 Порядок базисного минора матрицы   называется рангом матрицы и обозначается символом 

Замечание. Из приведённых определений следует, что ранг матрицы равен наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля.

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров. Рассмотрим применение этого способа на следующем примере.

Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Теорема 2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

6) Обратная матрица и ее вычисление

Определение 1 Квадратная матрица А называется вырожденной, если  , и невырожденной, если  .

 

Определение 2 Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается  .

     Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

 

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы  исходная матрица была невырожденной.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

7)Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида , которые в матричной форме записываются как  , где   - основная матрица системы,   - матрица-столбец неизвестных переменных,   - матрица свободных членов. Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров. Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию раздела обратная матрица: определение, свойства, методы нахождения. Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения   слева на   (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем  . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как  , а по определению обратной матрицы   (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому   Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством  . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы  . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу   только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Сn НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.