Основная теорема алгебры

   Всякая целая рациональная функция f (x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

33)? Разложение многочлена на множители над множеством действительных и компланарных чисел. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней

   Если многочлен f (x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + i·b , то он имеет и сопряжённый корень a - i ·b. В разложении f (x) = А₀ ·( х – а ₁) ·( х – а ₂)· …·( х – а_n) комплексные корни входят попарно сопряжёнными парами. Перемножив линейные множители, соответствующие паре сопряжённых корней, получим трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

[x − (a + ib)]·[x + (a + ib)] = [(x − a) − ib]·[(x − a) + ib] = (x − a)² + b² = x² − 2 ax + a² + b² = x² + px + q

где р = – 2·а, q = а ² + b ² — действительные числа. Если число a+ i·b является корнем кратности k, то сопряжённое число a - i ·b должно являться корнем той же кратности k. Так что наряду с линейным множителем х - (a + i·b) в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида х - (a - i·b).    Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители вида

При этом k₁ + k₂ + … + 2s₁ + … + 2s_m = n.

Разложение правильных дробей на простые дроби для действительных корней

   Рассмотрим какой – нибудь множитель ( х – а) кратности k, входящий в разложение знаменателя

Q_n (x) = (x − a)^k·Q₁(x)

дроби

,

( n > m), где Q₁(x) уже на (х – а) не делится. Тогда данная правильная дробь

может быть представлена в виде суммы правильных дробей

.

Для доказательства этого достаточно подобрать число А и многочлен Р₁(х) так, чтобы выполнялось тождество

P_m(x) − A_k·Q₁( x ) = ( x − a)·P₁(x).

В этом случае левая часть этого равенства имеет корень, равный х = а и поэтому

.

Из оставшейся части

выделим простую дробь

и т. д., пока множитель (х - а) вовсе не исчезнет из разложения знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю (х - а) ^k будет отвечать группа из k простых дробей

.

Такое же рассуждение поочерёдно применяется к каждому из оставшихся линейных множителей, пока в знаменателе не останется линейных множителей или в его разложении останутся лишь квадратичные множители.