§ 8. Аксиально-симметричное магнитное поле. Фокусировка с помощью короткой катушки

Естественным дальнейшим шагом в изучении движения заряженных частиц в магнитном поле является анализ движе­ния частиц в поле с аксиальной симметрией. Как показывает расчет, такое поле, подобно аксиально-симметричному электро­статическому полю, производит фокусирующее действие на параксиальный пучок электронов и, следовательно, может быть использовано для получения электронно-оптического изображе­ния. В частности, фокусирующим действием будет обладать любой короткий соленоид - так называемая короткая магнит­ная линза.

Совершенно так же, как в электростатике, для параксиаль­ной области значения продольной составляющей поля в точке с координатами (r,z) могут быть заменены через соот­ветствующие значения поля на самой оси, т. е.

(8.1)

Применяя теорему Гаусса, снова легко найти связь меж­ду радиальной и продоль­ной составляющими поля:

(8.2)

Рис. 8.1. Фокусировка в короткой маг­нитной линзе. Электронная траектория выходит из плоскости чертежа; пунктир­ная линия - проекция пространственной траектории на исходную плоскость (r,z).

Это соотношение, однако, не позволяет фазу же сделать вывод о фокусирующем действии аксиально-симмет­ричного поля на расходя­щийся пучок, так как сила, действующая на электрон со стороны радиальной сла­гающей, направлена не к оси системы, а по азимуту . Поэтому, если даже начальное зна­чение азимутальной слагающей скорости равно нулю, то эта слагающая обязательно появляется при прохождении электрона через линзу. Отсюда, в частности, следует, что в уравнении движения для аксиального магнитного поля нельзя отбрасывать член, отвечающий центробежной силе.

Качественно механизм фокусировки в короткой магнитной линзе можно разъяснить следующим образом (рис. 8.1). Пусть электрон влетает в линзу, двигаясь слева направо; для наглядности примем, что начальное вращение электрона от­сутствует и что его скорость направлена параллельно оси. Тогда в первые моменты движения электрона в поле линзы на него будет действовать лишь составляющая поля H_r, которая вызовет вращение электрона по азимуту (на рис. 8.1 это вращение направлено вперед, из плоскости чертежа). Только после появления составляющей скорости начнет сказываться фокусирующее действие линзы: в результате взаимодействия и H_z возникнет движение в радиальном направлении. Как легко убедиться, радиальная сила всегда направлена к оси, т. е. действие поля будет всегда фокусирующим, независимо от направления силовых линий и направления начальной ско­рости электрона. На протяжении всей первой половины линзы знак азимутальной компоненты силы не меняется и вращатель­ная скорость будет непрерывно нарастать. Одновременно за счет увеличения и Н_z будет нарастать фокусирующая сила F_r. После перехода электрона во вторую половину линзы знак Н_r изменится и вращательная скорость начнет постепенно уменьшаться. Знак фокусирующей силы остается, однако, не­изменным, потому что знак и H_z не меняется. В резуль­тате прохождения электрона через линзу его траектория окажется повернутой на некоторый угол относительно исходной плоскости (r, z) и пересечет ось в том или ином месте, один или даже несколько раз, за счет действия фокуси­рующей силы.

Из этого наглядного, хотя и нестрогого рассуждения ясны специфические особенности магнитных линз как фокусирующих электронно-оптических элементов: 1) фокусировка в магнитном поле сопровождается поворотом изображения и 2) любое акси­альное магнитное поле собирает электронный пучок, - рассеи­вающей магнитной линзы не существует.

Перейдем теперь к формальному выводу уравнения траек­тории.

Продольная составляющая скорости v_z, в параксиальной области может быть заменена через полную скорость v. Пространство, где находится магнитная линза, считается экви­потенциальным и, следовательно, Нали­чие вращательной компоненты скорости требует учета цент­робежного ускорения.

Запишем уравнения движения в цилиндрической системе координат:

(8.3)

(8.4)

(8.5)

Преобразуем последнее уравнение, воспользовавшись равен­ством (8.2):

(8.6)

или, после интегрирования,

(8.7)

Примем, что у электрона до входа в линзу, т. е. в области, где H = О, вращательная компонента начальной скорости от­сутствует. Тогда постоянная интегрирования оказывается рав­ной нулю, и последнее равенство перепишется (индекс z в дальнейшем опускается):

(8.8)

Уравнение (8.8) дает угловую скорость вращения электронной траектории; так как

(8.9)

то полный угол поворота траектории при прохождении электрона через линзу определяется по формуле

(8.10)

Внося полученное выражение для в уравнение (8.4) и пере­ходя от дифференцирования по времени к дифференцированию по координате г, после очевидных преобразований получим:

(8.11)

Уравнения (8.10) и (8.11) дают полное описание движения заряженной частицы в аксиальном магнитном поле. Непосред­ственно из вида написанных формул следует, что характер движения частицы зависит от величины е/m. Фокусирующее действие магнитной линзы по-разному сказывается на пучках электронов и пучках тяжелых частиц, прошедших одинаковые ускоряющие разности потенциалов.

Если аксиальное магнитное поле сосредоточено в неболь­шой области вдоль оси z и если расстояние частицы от оси мало меняется внутри этой области, иными словами, если магнитную линзу можно считать тонкой и слабой, то легко найти выражение для ее фокусного расстояния. Выполняя расчет, подобный приведенному в § 4, получим

(8.12)

Подинтегральное выражение в написанной формуле суще­ственно положительно, следовательно, всегда положительно и фокусное расстояние линзы (напомним, что величина U есть ускоряющая разность потенциалов, т. е. величина также всегда положительная). Равенство (8.12) дает, таким образом, формальное подтверждение уже высказанного раньше замеча­ния об отсутствии рассеивающих магнитных линз.

Рис. 8.2. Распределение поля H(z) на оси магнитных линз различных конст­рукций, а — магнитная линза без железа; б, в — панцирные магнитные линзы; г — панцирная магнитная линза с полюсным наконечником.

Важнейшее практическое применение магнитные линзы находят в электронной микроскопии. Одна из существенных методических задач, возникающих при конструировании элект­ронного микроскопа, состоит, так же как и в обычной оптике, в разработке короткофокусных электронных линз. При задан­ном числе ампер-витков фокусирующей катушки ее фокусное расстояние пропорционально длине l участка на оптической оси, в пределах которого сосредоточено магнитное поле. В этом нетрудно убедиться, заметив, что, во-первых, при задан­ном числе ампер-витков

и что, во-вторых, фокусное расстояние согласно (8.12)

Таким образом, величина f действительно пропорциональна протяженности поля l на оси. Поэтому для получения ко­роткофокусной магнитной линзы необходимо по возможности сокращать протяженность области, занятой полем. Это дости­гается путем бронирования катушек железным панцирем (рис. 8.2). В панцире, с его внутренней стороны, делается узкий кольцевой разрез. Магнитное поле на оси такой брони­рованной катушки отличается от нуля только вблизи кольце­вого зазора, так как дальше магнитные силовые линии замы­каются на железную броню.