1.2 Основные числовые множества

Множеством натуральных чисел называют множество чисел получаемых при подсчете предметов (минимальный элемент - единица).

Множеством целых чисел называют объединение множества натуральных чисел, противоположных натуральным и числа ноль: .

Множеством рациональных чисел называют множество чисел, которые можно представить в виде , где , .

Множеством действительных чисел называют множество чисел получаемых при измерении физических величин, для которых выполняются аксиомы действительных чисел:

• коммутативность сложения и умножения (переместительные законы);

• ассоциативность сложения и умножения (сочетательные законы);

• существование нулевого и противоположного элемента;

• существование единичного и обратного элемента;

• дистрибутивность сложения относительно умножения (распределительный закон);

и аксиомы отношения:

1) выполняется или ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Наличие аксиом отношений позволяет ввести понятие промежутка, а именно:

Отрезком называют множество действительных чисел .

Интервалом называют множество действительных чисел .

Полуинтервалом или называют множество действительных чисел или .

Для множества действительных чисел выполняются также аксиомы Архимеда и непрерывности.

Аксиома Архимеда. и произвольного ( ) такое, что .

Пусть на множестве действительных чисел задано последовательность отрезков, таких, что ... (рисунок 1.2), тогда справедлива следующая

Аксиома непрерывности. Всякая последовательность вложенных друг в друга отрезков имеет не пустое пересечение.

Рисунок 1.2 - Аксиома непрерывности для множества действительных чисел

Сравнение размера множеств ведется по их мощности (количеству элементов).

Мощность конечного множества равна числу его элементов.

Можно показать, что множества натуральных, целых и рациональных чисел равномощны. Про все эти множества говорят, что они счетные. Обозначается .

Множество действительных чисел мощнее, чем множество рациональных чисел. Про него говорят, что оно имеет мощность континуум. Обозначается .

1.3 Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Комплексным числом называется число вида

, (1.1)

где , - мнимая единица ( ).

Множество комплексных чисел обозначается .

В формуле (1.1) называют действительной частью комплексного числа и обозначают , а - мнимой частью комплексного числа и обозначают .

Комплексные числа отображают на комплексной плоскости: по оси абсцисс – действительную часть числа, по оси ординат – мнимую.



На рисунке 1.3 на комплексной плоскости отображены числа

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Рисунок 1.3 - Отображение чисел на комплексной плоскости

○

Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные и мнимые части:

, , , если и .

Над комплексными числами выполняются те же действия, что и над действительными, но по несколько другим правилам.

Суммой комплексных чисел , называется число .

Разностью комплексных чисел , называется число .

Сумма и разность комплексных чисел вычисляются по тем же правилам, что и действия с двухмерными векторами (рисунок 1.4)

Рисунок 1.4 - Сумма и разность комплексных чисел



, ,

○

Произведением комплексных чисел , называется число .

Частным комплексных чисел , называется число .



○

Комплексно сопряженным числом к числу называется число (рисунок 1.5).

Противоположным комплексным числом к числу называется число



,

комплексно сопряженное число: ,

противоположное число:

○

Рисунок 1.5 - Комплексно-сопряженные и противоположные числа