3.2 Точки разрыва функции
Пусть точка принадлежит области определения функции или является граничной точкой этой области. Точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого рода и второго рода.
Если в точке
существуют конечные односторонние
пределы
и
,
но они не равны между собой, а значение
функции не совпадает в этой точке с
односторонними пределами, то
называется точкой разрыва первого
рода.
Если в точке
существует конечный предел
,
а
- не определено или
,
то эта точка называется точкой
устранимого разрыва.
Точки разрыва 1-го рода функции , не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции.
Если
- точка скачка функции
,
то разность
не равна нулю и называется скачком
функции
в точке
.
Если в точке не существует хотя бы один из односторонних пределов и , или они равны несобственным числам, то называется точкой разрыва второго рода.
Исследовать не непрерывность и построить график функции
Найти скачок функции в точках скачка.
Функции
,
и
непрерывны на всей области определения
(во всем множестве
),
поэтому данная функция может иметь
точки разрыва только в точках, где
меняется ее аналитическое выражение,
т.е. в точках
и
.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 - Исследование функции ан непрерывность
,
,
.
Таким образом, в этой точке
,
т.е. функция имеет разрыв 1-го рода и
непрерывна слева. Скачок функции
в точке
равен
.
Аналогично, для точки получим:
,
,
а значение
не определено. Отсюда следует, что
- точка устранимого разрыва для функции
.
○
3.3 Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке
Теорема об арифметике для непрерывных функций
Пусть функции
и
непрерывны в точке
.
Тогда функции
;
;
и
(если
)
также непрерывны в точке
.
□
Следует из определения непрерывности и теоремы об арифметике для пределов
■
Теорема о непрерывности суперпозиций
Пусть функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
□
Следует из определения непрерывности и теоремы об арифметике для пределов
■
Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения. Из этого утверждения, а также из предыдущих теорем следует, что также непрерывны в каждой точке своих областей определения все элементарные функции, т.е. функции полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиции функций.
Представим без доказательства теоремы, описывающие свойства непрерывных на отрезке функций.
Теорема Больцано-Коши.
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
и принимает на его концах разные знаки.
Тогда найдется хотя бы одна такая точка
,
что
.
Теорема о промежуточных значениях
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
.
Тогда для любого числа
,
заключенного между числами
и
,
найдется такая точка
,
что
.
1-ая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
2-ая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
.
Тогда эта функция принимает на отрезке
свои наибольшие и наименьшие значения,
т.е. существуют такие точки
,
что для любой точки
справедливы неравенства
.