Импульсное представление.

Импульсная хар-ка согласованного фильтра или отклик на единичный импульс полностью определяется формой сигнала Uc(t), и представляет собой его зеркальное отображение относительно t0/2. Согласованный фильтр не может быть реализован при произвольном зн-ии t0, если t0=0, то отклик фильтра возникает на выходе раньше, чем подаётся импульс на вход. Поэтому t0 выбирается таким образом, чтобы отличные от 0 зн-е отклика располагались в области t>0. Это условие выполняется, если интервал времени t0= или >протяженности сигнала.

Частотное превставление.

Интеграл представляет собой комплексно сопряженную спектральную плотность сигнала.

Следовательно, частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя и множитель запаздывания совпадает с комплексно сопряженной спектральной плотностью сигнала. Модуль частотной характеристики совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала (АЧХ). То есть сигнал проходит на выход без искажений.

Комплексное сопряжение частотной хар-ки приводит к компенсации взаимных фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала. В момент t0+τ0 все составляющие спектра сигнала суммируются в фазе и сигнал достигает максимального значения.

Таким образом, максимальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы. Напряжение на выходе согласованного фильтра в момент t0+τ0 зависит от амплитудно- частотного спектра сигнала.

Найдём дисперсию шума на выходе согласованного фильтра. Частотные компоненты шума не коррелированны между собой, следовательно изменение их взаимных фазовых сдвигов засчёт ФЧХ фильтра не влияет на дисперсию шума, поэтому дисперсия шума определяется на выходе согласованного фильтра лишь его спектральной плотностью на входе и АЧХ фильтра.

– спектральная плотность шума на входе от ( ,

где

Если спектральная плотность шума постоянна в полосе частот 2Fв и =0 вне этого интервала, то , где - спектральная плотность белого шума. Следовательно,

.

Введем обозначение: – коэффициент обнаружения.

Отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра зависит только от спектральной плотности шума и энергии полезного сигнала и не зависит от его формы.

С труктурная схема оптимального приемника обнаружение при таком подходе (с согласованным фильтром) имеет вид:

Рис.4

ВС- временной селектор

СФ- согласующий фильтр

СИ- синхроимпульс (селекторный импульс)

ПУ- пороговое устройство

Операция образования корреляционного интеграла Z может быть заменена эквивалентной операцией согласованной или оптимальной фильтрации. Напряжение с выхода согласованного фильтра поступает на временной селектор, на который так же подаётся селекторный импульс в момент τ0+t0. Отселектированноенапряжение, пропорциональное значению корреляционного интеграла сравнивается с пороговымZ0.

Рис.5

Качественные показатели оптимального приёмника обнаружения.

Вне зависимости от способа реализации оптимального приёмника процедура принятия решения заключается в сравнении корреляционного интеграла с пороговым уровнем. В отсутствии шумов корреляционный интеграл может принимать лишь 2 значения:

, вероятность ложной тревоги =0.

Вероятность обнаружения=1, ложной тревоги=0. При наличии шума корреляционный интеграл становится случайной величиной, поэтому вероятности пропуска цели и ложной тревоги принимают некоторые конечные значения. Они определяются отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума. Для подсчёта этих вероятностей необходимо знать закон распределения корреляционного интеграла. Корреляционный интеграл подчиняется нормальному закону распределения, так как представляет собой линейное преобразование нормального случайного процесса.

Определению подлежат математическое ожидание и дисперсия корреляционного интеграла.

Математическое ожидание при наличии сигнала:

Дисперсия корреляционного интеграла с точностью до постоянного множителя = дисперсии флуктуации на входе согл-го фильтра.

где Е-энергия сигнала.

Заметим, что дисперсия всегда опред-ся этим выражением в независимости от того, присутствует или отсутствует полезный сигнал. Плотность вероятности нормальной случ-й вел-ны при наличии сигнала опред-ся:

При отсутствии сигнала:

Рис.6

– область правильного обнаружения,

– ложная тревога,

- интеграл вероятности.

- вероятность правильного обнаружения.

Таким образом вероятность ложной тревоги = отношению порогового уровня к эффективному значению флуктуации корреляционного интеграла. Вероятность правильного обнаружения зависит и от отношения энергии ожидаемого сигнала к Ϭ_z. Это отношение совпадает с отношением сигнал- помеха на выходе согласованного фильтра. Величина q- параметр обнаружения.

, введем обозначение .

- при постоянномF и будем называть характеристиками обнаружения.

Нарисуем семейство характеристик обнаружения:

Рис.7

Характеристики обнаружения позволяют найти минимальную энергию сигнала, необходимую для достижения заданного значения D при фиксированном F. Определив по кривым значение qmin по заданным Dи F, находим минимальную энергию сигнала, обеспечивающую заданную надежность обнаружения.

τс- длительность сигнала.

Качественные показатели оптимального приемника обнаружения могут быть найдены из хар-к обнаружения. Для сигнала с известными параметрами зависит только от энергии сигнала и не зависит от формы сигнала.