3. Теплопроводностьитеплоемкостьтвердыхтел

Переностеплавтвердыхтелахпроисходитблагодаряколебанияматомовкристаллическойрешеткиидвижениюсвободныхэлектронов.Поэтомуобщаятеплопроводностьитеплоемкостьимеетдвечасти:электроннуюk_э,C_эирешеточную^k_p^,C_p:

kk_эk_p;

CC_эC_p.

Вметаллах,гдеконцентрацияэлектроноввеликаn

(1.2.27)

10^22см3,

практическивсятепловаяэнергияпереноситсяэлектронами.Вдиэлек-триках,гдеконцентрацияэлектроновнизкаn110^{10см3},основ-

нуюрольиграютколебанияатомов,kk_p.Вполупроводникахвтеп-лопроводностьвносятвкладобамеханизма.

Переностепласвободнымиэлектронамиможнорассматриватьтак

же,какипереностепламолекуламигаза,поэтомуформула(1.2.17)справедливаидляэлектронов.Электроннаятеплоемкостьпропорцио-нальнаконцентрацииэлектроновидлинеихсвободногопробега.Этимжевеличинампропорциональнаиэлектропроводность,связаннаясдвижениемэлектронов,поэтомуотношениеэлектроннойтеплоемкости

кэлектропроводности₀

призаданнойтемпературеоказываетсявели-

чинойпостоянной,чтосоставляетсодержаниезаконаВидемана–Франца:

гдеL–числоЛоренца.

^kэLТ,

₀

Дляполупроводников,взависимостиотконцентрацииэлектронов,

числоЛоренцалежитвинтервале[1.7–1.9]:

1,5L2,45ВтОм/К².

Приколебанииатомовтвердоготеламеждунимивозникаютдо-полнительныесилывзаимодействия,связанныесизменениемрасстоя-

нияx

междуатомами.Этисилысточностьюдоквадратичныхчле-

новможноописатьвыражением

^x ^x2

F_{ }_{ }

^x0 ^x0

. (1.2.28)

Здесь

x_0–расстояниемеждупокоящимисяатомами;^–коэффици-

ентупругойсвязи;–коэффициентангармоническихколебаний.

Если

0и

0,тосилыпрямопропорциональнысмещениям

xиатомысовершаютгармоническиеколебания,которыеприводятк

возникновениюупругихволнразличныхчастот.Существенно,чтострогогармоническиеволныневзаимодействуют,проходядругчерездругакаксветовыелучи.Применительноктеплопроводностиэтооз-начает,чтовкристалле,гденетдефектов,теплораспространяетсябезрассеянияитемпературапротивоположныхстеноккристалладолжнабытьодинакова.Создатьградиенттемпературыбудетневозможно.

Рольвторогослагаемогов(1.2.28)темсущественнее,чембольше

амплитудаколебанийатомов.Появлениевторогои,еслинеобходимо,болеевысокихчленоврядав(1.2.28)приводиткдвумважнымследст-виям.

1. Принагреванииразмерытвердоготелаувеличиваются(тепловое

расширение).

2. Упругиеволныуженемогутнезависимораспространятьсяипривстречедругсдругомрассеиваются(т.е.меняютнаправлениедвиже-

ния).

Вреальномкристаллевсегдаимеютсяструктурныедефекты(при-

месныеатомы,дислокации,границызерен,поверхность),накоторыхупругиеволныдополнительнорассеиваются.Витогеангармонизмко-лебанийиструктурныедефектыприводяткконечнойвеличинетепло-вогосопротивлениялюбыхтвердыхтел.

Энергетическийспектркакодногоколеблющегосяатома,такиуп-

ругойволныквантован.Квантколебанийкристаллическойрешетки

Еhполучилназваниефонона.Фононырассматриваютсякакква-зичастицы,которыеобладаютнетолькоэнергией,ноиимпульсом:

p

[1.9].

g,гдеg–волновойвектор,

g^2,и–длинаупругойволны



Принагреванииэнергияколебанийрешеткивозрастаетисоответ-

ственнорастетчислофононов.Фононыимеютопределеннуюдлинусвободногопробега,т.е.расстояние,котороепробегаетупругаяволнаотодногоактарассеяниядодругого.

Спомощьюфононовпроцесспередачитеплакристаллическойре-шеткойописываюттакимжеобразом,какидлямолекулгаза,стой

лишьразницей,чточислофононовможетизменяться.Поэтомудляанализаособенностейпередачитепламожносновавоспользоватьсяуравнением(1.2.17),учитывая,однако,особенноститвердоготела.Те-пловаяэнергия,поступающаяотвнешнегоисточника(например,отокружающеговоздуха)ктвердомутелувперерасчетенаоднумолеку-^{луимеетвеличинуk}T^{.Атомытвердоготеламогутлишьколебаться,и}

дискретностьэнергическихуровнейравна

Еh.Взависимостиот

^{соотношенияk}T^{иhвозможныразличныеслучаи:}

1. ^{низкиетемпературыk}T

2. ^{высокиетемпературыk}T

Е^;

Е^.

Принизкихтемпературахтепловойэнергиинехватаетдлятого,

чтобы«раскачать»атомисоздатьупругуюволну(т.е.перевестиос-цилляторнадругойэнергетическийуровень).Поэтомупритемперату-рахвблизиабсолютногонулярешеточнаятеплоемкостьстремитсякнулю:

C

^Е

Т

 

^{ }Т=0

0.

Привысокихтемпературахдискретностьэнергетическогоспектраосцилляторовиособенностиихквантовогоповедениянеиграютроли.ТвердоетеломожнорассматриватькаксобраниеNтрехмерныхклас-сическихосцилляторов,средняяэнергиякаждогоизкоторыхсоставля-

етЕ3kT.Энергияколебанийвсехатомовтвердоготеларавна:

Е3NkT,атеплоемкость:

T

 

C^{E}3Nk. (1.2.29)

 

Решеточнаятеплоемкостьоказываетсянезависящейоттемперату-ры.Длятвердоготелатеплоемкостиприпостоянномобъемеипосто-янномдавлениииз-занизкойсжимаемостисовпадают,поэтомуиндексVилирутеплоемкостиопущен.

Температурнаязависимостьтеплоемкоститвердоготелаоказыва-етсявеличинойпеременной,изменяющейсяот0(приT0)до3Nkпривысокихтемпературах.Теоретическийанализ,которыйпровелП.Дебай,показал,чтоэнергияколебанийкристаллическойрешеткиможетбытьпредставленавследующемвиде[1.3,1.9]:

Е3NkТD(t), (1.2.30)

гдеD(t)–функцияДебая,t^:

T

_3t

x³dx

t^e1

D(t) . (1.2.31)

3 x

0

ПараметрименуетсятемпературойДебаяиявляетсяхарактери-стическойвеличинойдлятвердоготела.Привысокихтемпературах,

когдаT иt

1,функцияДебаястремитсякединице,иполучаем

(1.2.29).ПритемпературахмногоменьшетемпературыДебая,T(случай«низкихтемператур»),верхнийпределинтегралав(1.2.31)можнозаменитьнабесконечностьи,проинтегрировав(1.2.31),полу-

чаем:

3^4NkT⁴

Е ;

5³

^E ^T3

T 

^C ^ ^.

   

Теплоемкостьтвердоготелапринизкихтемпературахменяетсяпокубическомузакону.

ДлякремниятемператураДебаясоставляет

689К

[1.10]и

практическиважныйдлямикросистемдиапазонтемператур200...400Коказываетсяпромежуточныммеждурассмотреннымивы-шеслучаями«высоких»и«низких»температур.Нарис.1.4приведена

температурнаязависимостьтеплопроводностидлякремния[1.11].

РезкоеуменьшениетеплоемкостипритемпературахмногонижетемпературыДебая,Т ,приводитодновременноикуменьшению

теплопроводности,k~Т^3приТ0.

Помереростатемпературыначинаютборотьсядвафактора:

1. ростчислафононов,переносящихтепло,исоответственноросттеп-лоемкости;2)ростфононногорассеянияиуменьшениедлиныихсво-

бодногопробегапримернопозаконуl

^1.Поэтомукоэффициентте-

Т

плопроводностипроходитчерезмаксимум.Натомжерис.1.4

приведенатемпературнаязависимостькоэффициентатеплопровод-ностидлянекоторыхвеществ.Важнейшийполупроводник–кремний

Коэффициенттеплопроводностиk,

Вт/(смК)

100

10

1

CuGaAs

Si

Ge

Алмаз(типаII)

Cu

Si

GaAs^Ge

0,1

1 10 100300 1000

Т,К

Рис.1.4.Температурнаязависимостьтеплопровод-ностиразличныхматериалов

имеетприкомнатнойтемпературевысокуютеплопроводность.Вкладэлектроноввобщуютеплопроводностькремния,хотяирастетпомереувеличенияконцентрациилегирующейпримеси,нодажедлясильно-

легированногокремния^

810¹⁹

^1непревышает1%отрешеточ-

 _см3

 

нойтеплопроводности.Определяющимоказываетсявлияниелегирую-щейпримесинарешеточнуютеплопроводность.Приконцентрации

примеси

k,Втсм^–1К–1

1,5

1,0

0,5

N110^{18см3коэффициент}теплопроводностиуменьшается

из-завозрастающегорассеянияфононов.Нарис.1.5приведенасоответствующаязависимостьдлякремния,легированногомышьяком[1.10].

Поликристаллическиеиаморф-ныевеществаимеютмногораз-

0

–3

₁₀16 ₁₀17 ₁₀18 ₁₀19₁₀20

n,см

Рис.1.5.Влияниепримеси(мышья-ка)натеплопроводностькремния

личныхдефектов,накоторыхрас-

сеиваютсяфононы,поэтомуихтеплопроводностьвсегдаменьше,чемутвердоготелавмонокри-сталлическойформе.