2. Теплопроводностьгазов

Дляколичественногоописаниятемпературныхполейэлементовмикросистемнойтехникинеобходимытеплофизическиехарактеристи-кикакматериаловмикросистем,такиокружающейихсреды.

Какследуетизуравнения(1.2.5),важнейшеезначениеимеютко-эффициенттеплопроводностиитеплоемкостьвещества.Обеэтиха-рактеристикиразличаютсяповеличинеипохарактерутемпературных

зависимостейдлягазов,твердыхтелижидкостей.Вначалерассмотримэтихарактеристикидлягаза.

Теплопроводностьгазоввозникаетблагодаряпереносуэнергии

молекуламиизобластисповышеннойтемпературойвобласть,гдетемператураниже.Числомолекул,пересекающихповерхностьразделаэтихобластей,одинаководляпереходовизгорячейобластивхолод-нуюиобратно.Однакосредняяэнергия,приходящаясянаоднумо-лекулу,зависитоттемпературыиразличнадляразныхобластей:

^3kT

2

(1.2.16)

ипоэтомувозникаетпереностепла,пропорциональныйградиентутемпературы,какэтоиотраженовзаконеФурье.

Количествотепла,переносимоемолекулами,будеттембольше,

чембольшеихконцентрация,вышескоростьибольшедлинасвобод-ногопробега.Элементарнаятеория[1.6]даетдлякоэффициентатеп-лопроводностивыражение:

k¹ⁿv^, (1.2.17)

3 T

гдеⁿиv–концентрацияисредняяскоростьдвижениямолекул;^–



длинасвободногопробега;

C_V_T

–удельнаятеплоемкостьприпо-

стоянномобъемевпересчетенаоднумолекулу.

Дляидеальногогаза,какследуетиз(1.2.16),удельнаятеплоемкость

постояннаиравна

C^{3k,асредняяскоростьвозрастаетстемпера-}

туройпозакону

V ₂

_v 3kTm

. (1.2.18)

Длинасвободногопробегамолекулзависитотихконцентрации

nиэффективногосечениярассеяниярассеяниямолекул)иравна:

d²

(d–диаметрсечения

 ¹

nd²

, (1.2.19)

2

гдеn–концентрациямолекулгаза.

Видеальномгазеконцентрациямолекулnвобъемеидавлениесвязаныуравнениемсостояния:

p^NkT,

V

гдеN–общеечисломолекулвобъемеV.

Дляединичногообъемабодногопробегаполучаем

V1,Nn

ииз(1.2.19)длядлинысво-

_ kT

2d²

^1, (1.2.20)

p

подставляя(1.2.18)...(1.2.20)вобщеевыражениедлякоэффициентатеплопроводности(1.2.17),находим:

1

_k^3kT2

^k. (1.2.21)

_8m_d2

 

Теплопроводностьидеальныхгазовоказывается,такимобразом,независящейотдавленияивозрастающейстемпературойпозакону T.Экспериментальныезависимостикоэффициентовтеплопроводно-

стинекоторыхгазовприведенынарис.1.3.

k,Вт/(мК)

0,8

0,7

0,6 ¹

0,5

0,4

0,3

3

0,2

0,1

0

^H2

2

He

^{4 О}2

5

_CO2 6

250 350 450 550 650 750 850

t,С

Рис.1.3.Экспериментальныезависимостикоэффициентовтеплопро-водностинекоторыхгазовижидкостей:

1–вода(налиниинасыщения);2–глицерин;3–бензол;4–легкоемасло;5–фреон-12;6–воздух;даны зависимостидлякислородаиуглекислогогаза

Абсолютнаявеличинакоэффициентатеплопроводностидляболь-

шинствагазовневеликаипринормальныхусловиях(t0Cи

p1атм)оказываетсяменьше0,03Bт/(мК).

Выражениедлякоэффициентатеплопроводности(1.2.21)справед-ливопривыполнениидвухусловий:

1)Dd; 2)L.

Первоенеравенствоозначает,чтосреднеерасстояниемеждумоле-куламидолжнобытьмногобольшеразмеровсамихмолекул.Вэтомслучаегазможнорассматриватькакидеальныйивзаимодействиеммолекулможнопренебречь.Второенеравенствопоказывает,чтодлинасвободногопробегамолекулдолжнабытьмногоменьшерасстояниямеждуповерхностямиL,которыеобмениваютсятепломчерезгазо-

вуюсреду.Вэтомслучаетеплопереноситсяврезультатемногократ-ныхстолкновениймолекулгазамеждусобой,из-зачегодлинасвобод-ногопробегаиконцентрациямолекулгазаоказываютсясвязаннымисоотношением(1.2.20).

Вреальныхусловияхэлементымикросистемработаютпридавле-

нияхгаза,когдапервоенеравенствовыполняетсяхорошо.Второене-равенствопрималыхдавленияхперестаетсоблюдаться.

Какпоказываетчисленнаяоценкапо(1.2.20),придавлениивоздуха50ммрт.ст.длинасвободногопробегасоставляетоколо1мкм.Такиерасстояниямеждутеплообменивающимисяповерхностямивполнереализуютсяметодамимикросистемныхтехнологий.ЕслирасстояниеL^{междутеплообменивающимисяповерхностямистановитсясопоста-вимым}сдлинойсвободногопробега,товыражениедлякоэффициентатеплопроводностигазов(1.2.21)изменяется.

Рассмотримпроцесспереносатепламеждудвумяпластинами,раз-деленнымипромежуткомL,заполненнымгазомсдавлениемp.Вслучаемалогодавления,когдадлинасвободногопробега‰L,моле-

кулымогутбезстолкновенийпереноситьэнергиюотоднойпластиныкдругой.Вэтомслучаерольдлинысвободногопробегаиграетрас-стояниемеждупластинами,котороенезависитниотдавления,ниоттемпературы.Заменяя^наLвсоотношении(1.2.17),получаемвы-^{ражениедлякоэффициентатеплопроводностигаза‰L}^:

k^L3p

2

^k. (1.2.22)

mT

Теплопроводностьгазовпрималыхплотностяхоказываетсястрогопропорциональнойдавлению.Давлениегаза,прикоторомвыполняется

условиеравно

L,именуетсяпороговым

p_п.Из(1.2.20)следует,чтооно

p_п

kT

d^2L

. (1.2.23)

2

Удельнаятепловаяпроводимостьмеждудвумяпластинамидля

случая

L

такжеоказываетсяпропорциональнойдавлениюисо-

ставляет

G^{k 3p}L 2

^k. (1.2.24)

mT

Болееудобнойявляетсяэквивалентнаяформавыражения(1.2.24):



GG

^p, (1.2.25)

где

0^{ }

^p0

G_0–удельнаятепловаяпроводимостьпринекоторомопорном

давлении

p_0.Есливыбрать

p_01Па,тодлявоздухаG₀ 1Bт/(мК).

Придавлении

p>>p_п

тепловаяпроводимостьопределяетсяпо

(1.2.21)иотдавлениянезависит.

Практическиваженслучайпереносатеплавструктурах,гдерас-стояниемеждупластинамиоказываетсяпорядкадлинысвободногопробега,~L.Здесьвозможенпереносэнергиимолекуламикакпря-

моотпластиныкпластине,такипослерядастолкновенийсдругимимолекуламигаза.Тепловаяпроводимостьмеждупластинамиприбли-женноможетбытьпредставленавследующемвиде[1.7]:

_G^р^k

G

G

0^{ }

^p0^L

^p^_k

, (1.2.26)

0^{ }

^p0 ^L

гдекоэффициентзависитотприродыгаза.Физическиформула(1.2.26)отражаетпроцесспереносатепладвумяпараллельнодейст-

вующимимеханизмами.Зависимостьтепловойпроводимостиотдав-

ленияноситсложныйхарактер.Областьлинейногоподавлениюизме-нения тепловой проводимости ограничена сверху пороговым

давлением

рp_п,еслиопределяющимистановятсястолкновениямо-

лекулмеждусобой.Вобластивысокоговакуума,когдатеплопровод-ностьгазастановитсяоченьмалой,определяющейявляетсятеплопро-

водностьчерезподдерживающиеэлектродыG_э

итепловоеизлучение

пластинG_п.Припроектированииэлементовмикросистемнойтехники,работающихввакууме,конструкциюстремятсявыбиратьтакимобра-зом,чтобысуммаG_эG_пбыламинимальна.