2. Способы теплопередачи:теплопроводность

Существуюттриспособапередачитепла:

1. теплопроводность,иликондуктивныйтеплообмен;

2. конвекция;

3. радиационнаятеплопередача.

Взависимостиотустройствамикросистемыкаждыйизперечис-ленныхспособоввбольшейилименьшейстепенивлияетнаееработу.Численнаяоценкакаждогоспособатеплопередачиявляетсянеобходи-мымэтапомпривыборерациональнойконструкциисенсоровиактюа-торов.

1. Уравнениетеплопроводности

Теплопроводностьюименуетсятакойспособпередачиэнергии,прикоторомтеплораспространяетсявследствиепрямогоконтактамеждучастицамивеществ.Вчистомвидетеплопроводностьнаблюдаетсявтвердыхтелах.Имеетсяонаивжидкостях,вкоторых,однако,воб-щуютеплопроводностьсущественныйвкладвноситдругойспособте-плопередачи–конвективный.

Экспериментальнымпутемопределеносновнойзаконтеплопро-

водности–законФурье,которыйустанавливаетсвязьмеждуплотно-стьютепловогопотокаqиградиентомтемпературывлюбойточке

вещества:

qkgradT. (1.2.1)

Здесьq–векторплотноститепловогопотока,т.е.количествотепла,протекающегочерезединичнуюплощадкузаединицувремени;k–

коэффициенттеплопроводностивещества,азнак«–»учитывает,что

теплопереходитизобластисболеевысокойтемпературойвобласть,

гдетемператураниже.

Размерностьвсехвеличин,входящихвзаконФурье,всистемеСИ

соответственно:

^Bт

^Bт^

^qм^2с^;

^TК^;k_{ }^.

мК

  _{ }

Вектортепловогопотоканаправленпонормаликизотермическойповерхностивкаждойвыбраннойнанейточке.

ОбщийпотоктеплаФчерезгеометрическуюповерхностьAнеко-

тороготелаопределяетсякакповерхностныйинтеграл

Ф_qdA_q_ndA, (1.2.2)

А

где

q_nqcos–проекциявектораплотноститепловогопотокана

направлениенормаликповерхностиAвточкеМ.Угол^учитываетразличиевнаправленияхвектораqивектораэлементарнойплощадки

dA(рис.1.1).

Особеннопростойвидформулы(1.2.1)и(1.2.2)принимаютвслу-чаеодномерноготепловогопотокавтелах,имеющихпостоянноесече-ние,формакоторого,однако,можетбытьпроизвольной.



dA

_q

α

М

Рис.1.1.Копределениютепловогопотока(1.2.2)

Вэтомслучае,выбравосьxвнаправлениитепловогопотока,по-лучаем,чтосечениятелаплоскостямиYOZ,перпендикулярнымиx,являютсяодновременноиизотермическимиповерхностями.Соотно-шения(1.2.1)и(1.2.2)тогдаприводятсяквиду

qk^dT;

dx

ФqA, (1.2.3)

гдеA–площадьсечениятела.

Коэффициенттеплопроводностиk,входящийвформулу(1.2.1),яв-

ляетсятепловойхарактеристикойвеществаиотражаетособенностипередачитепланамолекулярномуровне.Вобщемслучаеонможетзависетьоттемпературыикоординаты,есливеществонеоднородно.

Впроцессетеплопередачидействуетзаконсохраненияэнергии,которыйформулируетсяввидеуравнениятепловогобалансадлялю-богоэлементарногообъемаиливсеготелавцелом:

QQ_пQ_у, (1.2.4)

где

Q_пи

Q_у

• соответственноколичествотепла,поступившееили

ушедшееизобъемаdVзавремяt;Q

• изменениеколичестватеп-

лавэлементарномобъемезатотжепромежутоквремени.

ИзменениеколичестватеплавобъемеdVможетпроисходитьдву-мяпутями:во-первых,этотепло,поступившееилиушедшеечерезгоря-чуюлибохолоднуюстенкувсилупроцессатеплопроводности;во-вторых,всамомобъемемогутбытьвнутренниеисточникитепла,на-пример,из-запротеканияэлектрическоготокаилихимическойреакции.

Изменениеколичестватеплавобъемеприводиткизменениютем-пературывсоответствииссоотношением:

QCTm,

гдеC–удельнаятеплоемкость;

mdV

• массавеществавобъе-

^меdV;^{–плотностьвещества;}Т

• изменениетемпературывобъ-

емеdVврезультатетеплопроводности.

Законсохраненияэнергии(1.2.4)вдифференциальнойформепри-нимаетвидуравнениятеплопроводности:

^{CT}^kT^{q, (1.2.5)}

t ^и

гдеq_и

время.

• плотностьвнутреннихтепловыхисточников_q_иBт/м^3;t–

Уравнениетеплопроводностивобщейформе(1.2.5)записанона

случай,есликоэффициенттеплопроводностизависитоткоординат.

Дляпрактическинаиболееважногослучая,когда(1.2.5)принимаетупрощеннуюформу

kconst,уравнение

^T²Tq^, (1.2.6)

t ^и

где

^k

• коэффициенттемпературопроводности;

q^^qи

• при-

C

веденнаяплотностьисточниковтепла.

^и C

Уравнениетеплопроводностиввиде(1.2.5)и(1.2.6)позволяетна-

ходитьраспределениетемпературкаквдинамическомрежиме,когдатемпературазависитотвремени,такивстационарном.Дляпоследне-

гослучая

^T0иуравнение(1.2.6)принимаетвид

t

²T^qи



. (1.2.7)

Есливнутреннихисточниковтепланет,q_и^0,тоуравнение(1.2.7)ещеболееупрощаетсяисводитсякуравнениюЛапласа:

²T0. (1.2.8)

Длярешенияуравнениятеплопроводностинеобходимодобавитьначальныеиграничныеусловия,определяющиераспределениетемпе-ратурывнекоторыймоментвремениинаграницах(поверхности)рассматриваемоготела.Обычноприменяютсятритипаграничныхус-ловий.

1. Навсейповерхностителаилинаегоотдельныхучасткахзаданатемпература,котораяподдерживаетсяпостоянной:

TT_i,

i1,...,n–номеручасткаповерхности. (1.2.9)

2. Навсейповерхностителаилинаегоотдельныхучасткахпод-держиваетсяпостояннымтепловойпоток:

qq_i,

i1,...,n. (1.2.10)

Вчастномслучаетепловойпотокq_i

участокповерхноститеплоизолирован.

можетбытьравнымнулю,т.е.

3. НаповерхностителапроисходиттеплообменпозаконуНьютона:

^q_i^^TT_0^{. (1.2.11)}

Вэтомслучаетепловойпотоксучасткаповерхности

A_{iпропор-}

^{ционаленразноститемпературмеждуокружающейсредойT}₀

итем-

пературойтелаT.Уравнениетеплопроводностиикраевыеначальныеусловияформируюткраевуюзадачутеплопроводности,котораядалеконевсегдаможетбытьрешенаваналитическойформе.Прирешениитеплотехническихзадачбольшуюрольиграютчисленныеметоды.

Вкачествепримера,иллюстрирующегораспределениетемперату-рывпроцессепередачитеплапутемтеплопроводности,рассмотримтепловойпотокчерезпластину(рис.1.2).

Пустьнаплоскости

x0

поддерживаетсятемператураTT_1,ана

плоскостиxL–температура

TT_2,

T_1T₂,аостальнаябоковая

поверхностьтеплоизолирована,итепловойпотокчерезнееотсутству-

ет,так чтоq0.Этоприводиткодномернойкраевойзадаче:

b

d²Tdx²

0;

T_x0T₁;

^T_xL^T_2. (1.2.12)

А_s

Т=Т₁

Т=Т₂

q

x=0 x=L ^x

Рис.1.2.Красчетураспределениятемпературыводномерномслучае

Единственнымрешением,удовлетворяющимкраевымусловия,яв-ляется:

T^T2T1x. (1.2.13)

L

Этораспределениетемпературысоответствуетплотноститеплово-гопотокавдольосих:

qk^dTk^{T1T2}k^T, (1.2.14)

dx L L

гдеTT_1T_2.

Общийтепловойпотокчерезлюбуюплоскостьпоперечногосече-нияплощадьюАодинаковиравен

ФqA^kAT. (1.2.15)

L

Величина

G^kA,входящаяв(1.2.15),именуетсятепловойпрово-

L

димостью,аобратнаяейвеличина

R^L

^T kA

• тепловымсопротивлени-

емпластины.ВсистемеСИразмерностиGиR_T

соответственнорав-

^{ны:Дж/(м2}К)^им2К/Дж^{.ПерепадтемпературΔ}T^{междуточками,находящимисянарасстоянииL,итепловойпотокФсвязанылиней-ным}соотношением:

TR_TФ,

котороеудобнодляпрактическихцелей.