2. Аналитическоерешениедлятеплообмена

Дляпростейшихгеометрическихформтермическихсенсоровди-намикуизменениятемпературыиногдаудаетсяпредставитьванали-тическойформе.Вкачествепримеранайдемизменениетемпературыдляэлементабалочноготипаспостояннымпрямоугольнымсечением,укоторогоодинкрай(защемление)поддерживаетсяпрификсирован-

нойтемпературе

TT_0,асвободныйконецтеплоизолированипоток

теплачерезнегоотсутствует.Наверхнююповерхностьбалочкивте-

чениевременивоздействуеттепловойпотокспостояннойплотно-

стьюq_0.Висходномсостояниитемпературабалочкибылапостояннойиравнойтемпературеокружающейсреды.Всенеобходимыеобозна-ченияприведенынарис.1.21.

Подвоздействиемпоглощеннойтепловойэнергиитемператураба-лочкиповышается.Величинаираспределениетемпературывдольнееопределяетсякакинтенсивностьюивременемвоздействиятепловогопотока,такимеханизмамитеплопотерьигеометриейструктуры.Врассматриваемомслучаебудемпредполагать,чтотеплоуходитблаго-дарятеплопроводностиматериалабалочкиирассеиваетсявокружаю-щемпространствепозаконуНьютона.Сучетомэтогокраеваязадача

^{дляперегревабалочкиuT}^x,t^T₀

2

принимаетформу:

u _2u



^{a uQ}^t;



^t

x²





^u^x,0^0;

_^u^L,t^0;



(1.9.5)

_u

^_^xx0

0,

где

a^2^k

c

• коэффициенттемпературопроводности;

^,

c

• ко-

эффициенттеплообменасокружающейсредой;Q^q0

c

• приведенная

Вт ^{10t}

плотностьтепловогопотока,

^{; }^t^_

_м2 _0

t

–единичная

функция,описывающаяизменениеповременипадающеготепловогопотока.

Решениекраевойзадачи(1.9.5)начинаетсясрассмотрениясоот-ветствующейоднороднойкраевойзадачи[1.26,1.27]:

^u



^t



2

a^2uu;

x²

_^u^L^0;

^u

^ 0.

x



(1.9.6)

Поищемрешениекраевойзадачи(1.9.6)ввидепроизведения

функций

^{u}^x^Tt^{.Разделяяобычнымобразомпеременные,по-}

лучаемдвауравнения:

^1dTT; (1.9.7)

_a^2dt

^d2  ^

dx²

_



_2, (1.9.8)

a

где–константаразделенияпеременных.



Вуравнении(1.9.8)обозначим:

 .Граничныеусловияв

_a2

краевойзадаче(1.9.5)вразделенныхпеременныхтрансформируютсяв

условие

^^L^0и

^d 0.Сучетомэтогокраеваязадачадля

^dxx0

пространственнойпеременнойxпринимаетвид:

^d²



_dx²



;



_^Ф^L^0;

^{d}0.

dx



Этазадачаимеетнетривиальныерешениятолькотогда,когда

^2n1^22

(1.9.9)

_n

4L²

, n0,1,2...

(1.9.10)

Отсюдаследует,чтоконстантаразделенияпринимаетдискрет-ныйрядзначений:

_n

^2n1^22

4L²

^. (1.9.11)

_a2

Соответствующиесобственныефункциизадачи(1.9.9)равны:

^^x^{cos2n1x,}

ⁿ 2L

n0,1,2...

(1.9.12)

Решениеуравнения(1.9.7)имеетследующийвид:

^Tt^C_n^e

2

^nat. (1.9.13)

КонстантыC_n

остаютсянеопределеннымиввидутого,чтона-

чальныеусловиявкраевойзадаче(1.9.6)незаданы.

Наборсобственныхфункций(1.9.12)служитосновойдлярешениянеоднороднойкраевойзадачи(1.9.5).Дляеерешенияпредварительноразложимфункцию,описывающуюприходящийнабалочкутепловойпоток,врядпособственнымфункциям_n:



0 n

^Q^t^Q^t^_^Q

^2n1^x

cos . (1.9.14)

n0 ^2L

Фурье-компонентыQ_nэтогорядаравны:



^QQ^t_

^1^n4

,

n0,1,2...

(1.9.15)

n 0

n0

^2n1^

Решениенеоднороднойзадачи(1.9.5)представимввидерядапособственнымфункциямоднороднойзадачи:

^u^xt^



^fn

n0

_{tcos}^2n1^x

2L

, (1.9.16)

гдефункции

^f_n^t

подбираютсятакимобразом,чтобыудовлетворя-

лисьдифференциальноеуравнениеиначальноеусловиев(1.9.5).Под-ставляя(1.9.16)и(1.9.15)вуравнениезадачи(1.9.5),получаемуравне-

ниенафункции

f_n:

^df

ftQ

, (1.9.17)

^^2n1^2

гдеa²_{ }

ⁿ ()

_dt nn n

.

ⁿ _ 2L _

Егорешениеможнопредставитьвследующейформе[1.27]:

t

^f_n^t^

_e^_n^t_Q

n

0

^^{d. (1.9.18)}

Подставляяв(1.9.18)явноевыражениедляФурье-компонентов

Q_n,получаем:

^ft^Q

⁴^1ⁿ

¹_e^_n^t_e_nt_.

n

^{n 02n1}^{ }

^{Учитываяэто,окончательноевыражениедляперегреваu}^xt

нимаетвид:

при-



n

^u^xt^_^Q

^1ⁿ⁴

^1_e^_n^{t}_e^_n^t_cos^{2n1x}_,

n0

^02n1^{}

^ 2L

где_n

определяетсясоотношением(1.9.17).

Нарис.1.29показанораспределениетемпературдлявыбранныхразмеровбалочкиипараметровпадающеготепловогопотока.Приtпроисходитнагревбалочки.Максимальныйперегреввозникаетк

моментувремениtнатеплоизолированномкраюбалочки,

x0:



n

^u0,^_^Q

_1_ⁿ⁴₁

^1e^{n}.

n0

^02n1^{ }

Приtпроисходитохлаждениебалочки,чтоопределяетсямно-

жителем

e^{n}.Охлаждениеоказываетсятембыстрее,чембольше

температуропроводностьиинтенсивнеетеплообменсокружающейсредой.

U,К

6 ₁

⁵ 2

4

3

2

₁ 3

4

₀ x

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0^L

Рис.1.29.Распределениетемпературыпобалочкевслучаедействияимпульсноготепловогопотока:

–длительностьтепловогоимпульса,с;t–текущиймоментвре-мени,с;1–=1,t=1,5;2–=1,t=4;3–=0,1,t=0,6;

4–=0,1,t=3,1;толщинаh=20мкм;длинаA=2,5мм;коэффи-циенттеплопроводностикремнияk=96Вт/(м∙К);плотностьтепловогопотокаq₀₌100Вт/м²

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определениетемпературныхполейявляетсяцентральнойпробле-мойдляпроектированиятермическихсенсоров.Еерешениетребуетпреждевсегокорректнойформулировкиисходнойкраевойзадачи.Вглавеприведеныосновныеуравнениятеплообменаиобсужденытипыграничныхусловий.

Уженаэтапеформулировкикраевойзадачитребуютсяясноепо-ниманиеролиразличныхмеханизмовтеплообменаиколичественнаяоценкаихвкладавобщийтеплообмен.Этопозволяетупрощатьис-

ходныеуравнениятеории,корректноформулироватьграничныеусло-вияивыбиратьнаиболееэффективныйметодрешения.

Вэтойсвязивглавепоследовательнорассмотреныспособытепло-обменапосредствомтеплопроводности,путемконвекцииирадиаци-оннымизлучением.

Вмикроэлектронныхсенсорахикомпонентахмикросистемтепло-обменспомощьютеплопроводностииконвекциииграетосновнуюроль,поэтомувглавеонирассмотренынаиболееподробно.Вкладконвекциивтеплообмензачастуюменьше,чемоттеплопроводности,

носложностьфизическихпроцессовконвекциииособенностиеема-тематическогоописаниязаставилиуделитьэтомувопросубольшеевнимание,чемтеплопроводности.

Из-засложностигеометриирасчетытемпературныхполейкомпо-нентовмикросистем,какправило,ведутсячисленнымиметодами.Та-киеметодытребуютспециальногорассмотрения,посколькуонитесно

связаныспрограммнымобеспечениемдлярешениязадачинакомпью-тере.Поэтомувглавеосновноевниманиеуделеноаналитическомуме-

тодурасчетараспределениятемператур.

Вкачествепримероврассмотренытемпературныеполяпрямо-угольнойконсольнойбалочкиикруглойдиафрагмы.Дляконсоль-нойбалочкитемпературныеполярассмотреныкаквстатическом,такидинамическомрежиме.Приведенныерешениямогутбытьиспользо-ваныкактестовыепримерыприпрактическойобработкечисленныхметодовопределениятемпературныхполей.

Литература ₁₀₃

ЛИТЕРАТУРА

1. ChoiI.L.Asilicon-thermopile-basedinfraredsensingarrayforuseinau-tomatedmanufacturing/I.L.Choi,K.D.Wise//IEEETransElectronDevices.–V.33.–P.72–79.

2. GoldmanK.Anovelmicromechanicaltemperaturememorysensor/

K.Goldman,M.Mehregany//Proc.ofTransducers95,Sweden,June25–29,1995.–V.2.–P.132-135.

3. ЛевичВ.Г.Курстеоретическойфизики/В.Г.Левич.–М.:Наука,1969.– 910с.

4. СмородинскийЯ.А.Температура/Я.А.Смородинский.–М.:Нау-ка,1981.– 159с.

5. Датчикиизмерительныхсистем/Аш.Ж.[идр.].–М.:Мир,1992.–Т.1.– 478с.

6. РейфФ.Статистическаяфизика.Берклеевскийкурсфизики/Ф.Рейф.– М.:Наука,1986.–Т.5.– 335с.

7. ThermalSensors/ed.:G.C.M.Meijer,A.W.vanHerwaarden.–Inst.ofPhysicsPubl.,1995.–300p.

8. ЗеегерК.Физикаполупроводников/К.Зеегер.–М.:Мир,1977.–615с.

9. КиттельЧ.Введениевфизикутвердоготела/Ч.Киттель.–М.:

Наука,1978.– 790с.

10. ФистульВ.И.Сильнолегированныеполупроводники/В.И.Фис-туль.– М. :Наука,1967.–С.166.

11. ШалимоваК.В.Физикаполупроводников/К.В.Шалимова.–М.:

Энергия,1987.– 415с.

12. SemiconductorSensors/ed.S.M.Sze.–N-Y.:AWiley-IntersciencePublication,1994.–550p.

13. Дульнев Г.Н. Теплообмен врадиоэлектронных аппаратах /

Г.Н.Дульнев,Э.М.Семяшкин.–М. :Энергия,1968.–360с.

14. ЭккертЭ.Р.Теориятепло-имассообмена/Э.Р.Эккерт,Р.М.Дрейк.– М. :Энергия,1961.– 679с.

15. БеляевН.М.Основытеплопередачи/Н.М.Беляев.–Киев,1989.–342с.

16. ФейнманР.Механикасплошныхсред.Лекции/Р.Фейнман.–М.:Мир, 1966.–Т.7. – 289с.

17. БолгарскийА.В.Термодинамикаитеплопередача/А.В.Болгарский,Г.А.Мухачев,В. К.Щукин.– М. :Высшаяшк.,1975.–495с.

18. ЛыковА.В.Теориятепло-имассопереноса/А.В.Лыков,Ю.А.Михайлов.– М. :Энергия,1963.– 534с.

19. МихеевМ.А.Основытеплопередачи/М.А.Михеев.–Госэнергоиз-дат,1956.– 505с.

20. КухлингХ.Справочникпофизике/Х.Кухлинг.–М.:Мир,1983.–

519с.

21. HerwaardenvanA.W.Integratedvacuumsensor/A.W.vanHerwaar-den,P.M.Sarro,H.C.Meijer//SensorandActuators.–1985.–V.8.–Р.187–196.

22. Aninfradredsensingarraybasedonintegratedsiliconthermopiles/

P.M.Sarro,H.Yashiro,A.WvanHerwaarden,S.Middelhoek//Proc.Tranduc-ers.–1987.–3–5June,IEEofJapan,Tokyo.–Tokyo,1987.–Р.227–230.

23. KlaassenE.H.Diode-basedthermalR.M.S.Converter/E.H.Klaassen,

R.J.Reay,G.T.A.Kovacs//SensorsandActuators.A.–1996.–V.52, №1–3.–Р.33–40.

24. КузнецовВ.С.Специальныефункции/В.С.Кузнецов.–М.:Выс-шаяшк.,1962.– 246с.

25. СправочноеруководствокпакетуANSYS.

26. ОчанЮ.С.Методыматематическойфизики/Ю.С.Очан.–М.:Высшаяшк.,1965.– 383с.

27. АрсенинВ.Я.Математическаяфизика/В.Я.Арсенин.–М.:Наука,1966.– 367с.

28. АнгоА.Математикадляэлектро-ирадиоинженеров/А.Анго.– М. :

Наука,1967.– 775с.

ГЛАВА2

ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕЭЛЕМЕНТЫ

Термочувствительныйэлементпредставляетсобойважнейшуючастьлюбоготермосенсора:внемтемпература(разностьтемператур)преобразуетсявэлектрическийсигнал.Благодарямногообразиюсвойствиявленийввеществах,которыезависятоттемпературы,су-ществуетбольшоеколичествометодовееизмеренияи,соответствен-но,конструкцийизмерительныхустройств,однаковтермическихсен-сорахпрактическоеприменениеполучилилишьчетыретипатермочувствительныхэлементов:термопары,терморезисторы,транзи-сторыитермисторы.Первыетридопускаютизготовлениеметодамитехнологииинтегральныхсхем.Термисторыприменяютсялишькакдискретныеэлементы,которыемогутвходитьвсоставразличныхмикросборок.Вданнойглавебудутрассмотреныфизическиепринци-пыработы,достоинстваинедостаткиуказанныхтиповэлементов.