2. Передачатеплачерезстенку

ОТОДНОГОТЕПЛОНОСИТЕЛЯКДРУГОМУ

Впредыдущемподпараграфе1.5.1вкачествеграничныхусловийзадавалисьтемпературыбоковыхповерхностей.Оченьчастовстреча-етсядругойвариантграничныхусловий,когдазаданатемпературате-

плоносителяслеваT_1исправаT₂

отпластины,набоковыхповерхно-

стяхкоторойпроисходиттеплообменпозаконуНьютона.

Вэтомслучаекраеваязадачаимеетследующийвид:

d²T

dx²

0;

^q_1^T₁^T_c1

^q_2^T_c2^T₂

0xL,

припри

x0;

xL;

(1.5.5)

где₁

и_2–коэффициентытеплообменамеждужидкостьюисоот-

ветствующейповерхностью.

Распределениетемпературывпластинке,какивпредыдущемпа-раграфе,будетлинейнозависетьоткоординатыx.Условиенепрерыв-ноститепловогопотокапозволяетопределитьтемпературыбоковыхповерхностейT_c1иT_c2изсоотношений

T_1T_c1

_1;

q

T_c2T_2

_2;

q

TT ^Lq.

c1 c2 _k

(1.5.6)

Из(1.5.6)следует,чтоплотностьтепловогопотокаравна

1



q^1

^1

_l_1^



k



2

^T₁^T_2^.

Тепловоесопротивлениеединицыплощадипластины

1



R_T

1

_L_1

k ₂

(1.5.7)

зависиттеперьнетолькоотLи^k,ноиотособенностейтеплообмена

набоковыхповерхностяхчерезкоэффициенты₁

и_2.Тепловоесо-

противлениепластиныоказываетсявыше,чемвпростейшемвариантетеплопередачи,рассмотренномвпараграфе1.2,чтосвязаносважнойрольюпограничныхслоевпритеплообменевжидкости.

6. Электростатическаяаналогияуравнениятеплопроводности

Уравнения(1.2.7)и(1.2.8)длястационарнойтеплопроводностиимеюттакуюжеформу,какиуравненияПуассонаиЛапласавэлек-тростатике:

²^;



²0,

гдеи–объемныйзарядидиэлектрическаяпроницаемостьсреды.

ВэлектростатикеширокоиспользуютсяграничныеусловияДи-рихлеиНейманадляпотенциалаиегопроизводной:

i

 ;

Аi



n_Аi

C_i,

которыеформальноаналогичныкраевымусловиям(1.2.9)и(1.2.10)задачитеплопроводности.Крометого,законОмадляпостоянноготокавпроводящейсреде

J(–электропроводность)

имеетформу,аналогичнуюзаконуФурье.

Формальноесоответствиеуравненийэлектростатикиитокавпро-водящейсредеуравнениямтеплопроводностипозволяетширокоис-пользоватьметодырасчетапотенциаловитоковдлянахождениярас-пределениятемпературприрешениизадачтеплопередачи.

Втабл.1.2перечисленыэлектрическиеаналогивеличинтеориите-плопроводности.

Физическаяприродатеплопроводностииэлектростатикивсе-таки

различна,вотпочемуописаннаяаналогиянеполная.Так,несуществу-еттепловыханалоговэлектрическоймощностиииндуктивности.Теп-лоемкостьпропорциональнаобъему,т.е.третьейстепенилинейногоразмера,втовремякакэлектрическаяемкость(например,плоскогоконденсатора)пропорциональнапервойстепени.Темнеменееэлек-трическаяаналогияоказываетсяпрактическичрезвычайнополезной

Электрическиеаналогитепловыхвеличин

Табл и ц а1.2

Тепловыевеличины	Электрическиевеличины
ТемператураT,К	Потенциал,B
Плотностьтепловогопотокаq,Bт/м2	ПлотностьтокаJ,А/м2
ТепловойпотокФ,Bт	ТокI,A
КоличествотеплаQ,Дж	ЗарядQ,Кл
ТепловоесопротивлениеRT,К/Bт	СопротивлениеR,Ом
ТепловаяпроводимостьG,Bт/К	ПроводимостьG,См
Удельное тепловое сопротивление T,мК/Bт	Удельноесопротивление,Омм
Удельнаятеплопроводностьт, Bт/(мК)	Удельнаяпроводимость1 Омм
УдельнаятеплоемкостьС,Дж/(кгК)	Диэлектрическаяпроницаемость ,Ф/м

длярешениязадачтеплопроводности,посколькуметодырасчетаэлектриче-

скихполейхорошоразвитыипривыч- ^{dr r2}

ныдляспециалистовсэлектронным ^r1

образованием,которыеобычноизани-

маютсяпроблемамимикросистемной_H

техники.

Вкачествепримераиспользования

электростатическойаналогиирассмот-римзадачуораспределениитемпера-турывстенкедлиннойтрубыприна-личиирадиальногопотокатепла

(рис.1.17).Температуратеплоносителя_d1

внутритрубы

T₁,

температуравоздуха

d₂

снаружитрубы

T_0,такчтостенкияв-

ляютсяизотермическимиповерхностя-ми,авекторплотноститепловогопото-канаправленрадиально.

Рис.1.17.Красчетутепловогопотокамеждудвумяцилинд-

рическимиповерхностями

Соответствующаяэлектростатическаязадачаимеетвид:

2

0;

_rr1₁;

_rr2_0.

Вцилиндрическойсистемекоординат,которуюестественноис-пользоватьвданнойзадаче,уравнениеЛапласапринимаетвид:

^1dr^{d}0. (1.6.1)

rdr^

dr^

 

В(1.6.1)учтено,чтотрубадлинная,минаконцахтрубыможнопренебречь.

Н d_2,икраевымиэффекта-

Длявыбранныхкраевыхусловийпрямоеинтегрированиеуравне-

ния(1.6.1)приводиткрешениювобластиr_1rr_2:

1

^{10lnr.} (1.6.2)

ln^{r2 r1r}₁

Учитываяаналогиюмеждувеличинами,указаннуювтабл.1.2,по-лучаемраспределениетемпературыпотолщинетрубы:

TT₁

–^{T1T0lnr,}

r _r

r_1rr_2. (1.6.3)

_ln² 1

r₁

Плотностьтепловогопотокаприэтомбудетравна

.

_{qkdTkT1}T₀₁r

(1.6.4)

dr _ln^r₂ rrr₁

Помереудаленияотоситрубыплотностьтепловогопотока

уменьшаетсяпозаконуq~^1.Общаявеличинатепловогопотока,про-

r

ходящего через участок цилиндрической поверхности радиуса

^rr₁^{rr}_2^{идлинойH,остается,однако,постоянной:}

k2H

Qq2rH

ln^r2

r₁

^T₁^T_0^{. (1.6.5)}

Величина

^{Rlnr22Hk1}

T

r₁

представляетсобойтепловоесопро-

^{тивлениеучасткатрубыдлинойH.}

Электростатическаяаналогияупрощаетрасчеттепловыхсопротив-

ленийсложныхструктур.Рассмотримдвапростейшихслучая.