2. Основныеуравненияконвективноготеплообмена

Конвективнаятеплоотдачаопределяетсяфакторамитепловогоигидродинамическогопроисхождения,поэтомусистемадифференци-альныхуравнений,описывающихее,включаеткакуравнениятепло-обмена(1.4.7)итеплопроводности,такиуравнениядвиженияжидко-стиинепрерывности.

Дифференциальноеуравнениетеплопроводностивдвижущейжид-костипринимаетвид[1.17]

^Т^u^{Ta2T, (1.4.9)}

t

гдеa–коэффициенттемпературопроводности;t–время.

Второеслагаемоевлевойчасти(1.4.9):

LT

uTu

T_u

T_uT

^ˆ  

x y z

x y z

учитываетдвижениеэлементаобъемажидкостисоскоростьюu.

Дляописаниядвижениявязкой,несжимаемойжидкостииспользу-ютсяуравненияНавье–Стокса,которыеполучаютсяисходяизвторогозаконаНьютона.Еслиосьzсовместитьснаправлениемполятяжести,тодляизотермическоготечениянесжимаемойжидкости,имеющейкинематическуювязкость,уравнениядвижениявдекартовойсисте-мекоординатможнозаписатьвтакомвиде:



^uxL^ˆu

_t x

^1p²u;



x ^x



^uyL^ˆu

t ^y

^1p²u



y ^y

; (1.4.10)



^uzL^ˆu

t ^z

g^1p²u.



z ^z

Здесьg–ускорениесвободногопадения;p–давление;

  

L^ˆ–опера-

тор,L^ˆu_x

_xu_y

y^uzz^.

Длянесжимаемойжидкостиплотность–постояннаявеличина,

const

иуравнениенеразрывностипринимаетвид

divu^ux^uy^uz0. (1.4.11)

x y z

Системауравнений(1.4.9)...(1.4.11)вместеснеобходимымикрае-вымииначальнымиусловиямидаетполноематематическоеописаниетеплопередачипутемконвекции.

Еерешениепрактическиневозможнополучитьбезрядаупрощаю-щихпредположений,числокоторыхзависиткакотособенностейре-шаемойзадачи,такиотпроизводительностивычислительнойтехники.Попыткиполучениярешенияваналитическойформезаставляютпри-менятьстольбольшоечислоупрощений,чтовитогеконечныерезуль-татынеоченьхорошосогласуютсясэкспериментальнымиданными.

Уравнениядвижениязначительноупрощаются,еслипредполо-

жить,чтосилывязкостиимеютсущественноезначениелишьвпреде-лахпограничногослоя,авостальнойчастипотокаимиможнопренеб-речь.ЭтагипотезабылавыдвинутаЛ.Прандтлемв1903годуивомногихслучаяххорошосогласуетсясэкспериментом[1.18].Наееос-новеразвитатеорияпограничногослоя,котораяширокоприменяетсядлячисленныхрасчетовтеплопередачиигидродинамическогосопро-тивления.

Сложностьтеоретическогопутиизучениязакономерностейкон-вективноготеплообменаиполученияпрактическихрезультатоввы-двинуланапервоеместоэкспериментальныеметоды.Припрактиче-скойреализацииэтихметодоввозникаетважнаяпроблема:какимобразомпоитогамконкретногоэксперимента,проводимоговвыбран-ныхлабораторныхусловиях,получитьрезультатыобщегохарактера,какэтополучаетсяпритеоретическоманализе.Решениеэтойпробле-мыудаетсянайтиблагодаряприменениютеорииподобия.

3. Критериитеорииподобия

ВКОНВЕКТИВНОМТЕПЛООБМЕНЕ

Втеорииподобияпонятиегеометрическогоподобияфигурраспро-страненонафизическиеявления.Геометрическифигурыподобны,ес-липропорциональныихсходственныелинейныеилиугловыеразмеры.Например,длялюбыхдвухравностороннихтреугольниковотношениедлинсторонравно

^lC,

l^{ l}

гдеC_l–константагеометрическогоподобия.

Дляподобияфизическихявленийнеобходимапропорциональностьнетолькогеометрическихформ,ноидругихфизическиххарактери-стик:скоростей,температур,плотностейит.д.Поэтомуприописании

физическогоподобияиспользуютпонятияодноименныхвеличин,сходственныхточекисходственныхмоментоввремени.

Кодноименнымотносятсявеличиныодинаковойфизическойпри-

родыиразмерности.Сходственнымисчитаютсяточкисистем,удовле-

творяющиегеометрическомуподобию,асходственныемоментывре-

t^

мениt^иt^связаныконстантойподобия:

t^

C_t

приобщемначале

отсчетавремени.Кподобнымотносятсяфизическиеявления,проте-

кающиевгеометрическиподобныхсистемах,вовсехсходственных

точках,всходственныемоментывремени.Отношениеодноименныхвеличинестьпостоянныечисла(константыподобия)[1.17].Кподоб-нымявлениямотносятсяявленияодинаковойприроды,описывающие-сяодинаковымиуравнениями.Этиуравнениямогутбытьиспользова-ныдляустановлениясвязимеждуконстантамиподобия.Дляиллюстрацииэтогоможновоспользоватьсяуравнениемтеплообмена(1.4.7).Запишемегодлясходственныхточекдвухподобных явлений

^

и

k^

T^

gradT^

(1.4.12)

^

k^

T^

gradT^. (1.4.13)

Константыподобияобозначим:

^C;

^{ }

^kC;

k^{ k}

^TC;

T^{ T}

^lC, (1.4.14)

l^{ l}

гдеl–характеристическийразмерсистемы.

Константыподобияопределяютсвязьнетолькомеждусходствен-нымиконечнымипараметрами,ноимеждуихбесконечномалымиприращениями,например,длядлинимеем:

_Cl^_x^_,

^l l^

x^

гдеl^иl^–длинысторонподобныхфигур,аx^

сткиэтих сторон.

иx^–малыеуча-

Учитываяэто,подставив(1.4.14)вуравнение(1.4.13),получаем

^

C_kCC_lT^

gradT^. (1.4.15)

Уравнения(1.4.15)и(1.4.12)должныбытьравнытождественно,поэтомуполучаем

C_kCC_l

1.

Последнееравенствоустанавливаетсвязьмеждуконстантамипо-добия,котороевытекаетизуравнениятеплообмена.Подставляяв(1.4.15)явныевыражениядляконстантподобия(1.4.14),получаем

^{l}^{l}. (1.4.16)

k^ k^

Этибезразмерныекомбинациифизическихигеометрическихпа-раметров,которыеуподобныхявленийвсходственныхточкахимеютодинаковыечисловыезначения,называюткритериямиподобия.Полу-ченныйкритерий(1.4.16)носитназваниекритерияНуссельта:

Nu^l. (1.4.17)

k

Втеорииподобияпоказано,чтопроизведениеичастноеотделениякритериевтакжепредставляютсобойкритерийподобия.

Изсистемыуравнений(1.4.9)...(1.4.11)можнополучитьещеряд

критериевподобия.

1. КритерийФурье:Fo^aT.

_l2

2. КритерийПекле:Pe^ul.

a

3. Критерийгомохронности:Ho^uT.

l

(1.4.18)

4. КритерийЭйлера:Eu ^p.

u²

5. КритерийРейнольдса:Re^ul.



gl³

6. КритерийГрасгофа:^Gr

_2

^T,

гдеg–ускорениесвободногопадения;–кинематическаявязкость;

–коэффициентобъемногорасширения,которыйдлягазаравен

 ¹

t273

,гдеt–температуравградусахЦельсия.

Критерийгомохронностиприменяетсядляописаниявовремени

тепловыхпроцессов,акритерийЭйлераопределяетподобиеполейдавления.

ВместокритерияПеклечастоиспользуетсякритерийПрандтля,

равныйотношениюкритериевПеклеиРейнольдса:

Pr^Pe^^c. (1.4.19)

Re a k

УдобствокритерияПрандтлясостоитвтом,чтоонзависиттолькоотфизическихсвойствжидкости.

Критерии,установленныетеориейподобия,нетолькоуменьшают

числопеременных,определяющихвеличинукоэффициентатеплоот-дачи,ноипозволяютпридатьрезультатамотдельныхэксперимен-товнеобходимуюобщность.Дляэтогочисленныерезультатыэкспе-риментовнеобходимопредставитьвформекритериальногоуравнения:

^{NufFo,Re,Gr,Pr}^{. (1.4.20)}

КритерийНуссельтавсегдаявляетсяискомым,таккаквнеговхо-дитважнейшаявеличина–коэффициенттеплообмена.Обычноприрешенииконкретныхпрактическихзадачвкритериальноеуравнениевходятневсекритерии,атолькоихчасть.

КритерийФурьеотражаетвлияниенестационарности,критерийРейнольдса–влияниевынужденнойконвекции,критерийГрасгофа–

влияниесвободнойконвекции,критерийПрандтля–влияниефизиче-скихсвойствжидкостинакоэффициенттеплоотдачи.

Какправило,изучаютсястационарныепроцессытеплообмена,по-

этомукоэффициентФурьеисключаетсяизкритериальногоуравнения.Присвободнойконвекциивкритериальноеуравнениеневходиткри-терийРейнольдса:

^{NufGr,Pr}^{. (1.4.21)}

Привынужденнойконвекциикритериальноеуравнениенесодер-житкритерийГрасгофа:

^{NufRe,Pr}^{. (1.4.22)}

Дляудобстваотработкиопытных данныхкритериальноеуравнениепринятопредставлятьввидепроизведениястепенныхфункций:

NucRe^kGrmPrn, (1.4.23)гдеc,k,m,n–опытныекоэффициенты.

Еслирезультатыотдельногоэксперимента(илисерииэксперимен-

тов)представленывформулекритериальногоуравнения(1.4.23),тоихможнообобщитьнабесконечноечислоэкспериментов,длядругихзначенийфизическихигеометрическихпараметров,лишьбыонибы-липодобнымиипроизведениекритериевудовлетворялоуравнению(1.4.21).Критериальныеуравнениядляконкретныхсистембудутрас-смотреныниже.