30. Меры центральной тенденции.

Назначение М. ц. т. - служить сводными количественными характеристиками, обеспечивающими наилучшее описание множества наблюдений или оценок одним единственным числом. Термины М. ц. т. и «средняя величина» часто употребляются как равнозначные, хотя некоторые авторы сужают объем понятия «средняя величина» до среднего арифметического. Несмотря на разнообразие М. ц. т., чаще всего встречаются мода, медиана и среднее.

Мода - это просто наиболее часто встречающееся в определенной совокупности наблюдений значение переменной. При сгруппированных данных мода определяется как середина интервала группирования, содержащего наибольшее число значений наблюдаемой переменной.

Медиана - это значение переменной, делящее упорядоченную совокупность наблюдений пополам, так что одна половина значений в этой совокупности лежит ниже медианы, а др. их половина - выше медианы. Если совокупность образована нечетным числом значений наблюдаемой переменной, то медиана равна значению переменной, являющемуся серединой упорядоченной совокупности наблюдений. Если же совокупность образована четным числом значений, то медиана определяется значением, лежащим посередине между двумя значениями, находящимися в центре упорядоченной совокупности наблюдений. Медиана - более полезная мера, чем мода, и часто используется в случае скошенного (асимметричного) распределения данных. Следует, однако, отметить, что медиана нечувствительна к величине крайних значений упорядоченной совокупности наблюдений.

Среднее арифметическое - самая распространенная мера центральной тенденции - определяется как сумма значений наблюдаемой переменной, разделенная на их число. (В данной статье под «средним» подразумевается среднее арифметическое.) Использование среднего дает исследователю ряд преимуществ. В отличие от др. М. ц. т., среднее чувствительно к точному положению каждого значения в распределении переменной. Правда, это достоинство среднего арифметического оборачивается недостатком в виде повышенной чувствительности к крайним значениям переменной, и потому его иногда избегают использовать в случае сильно скошенных распределений.

Среднее - особенно полезная мера в области статистических выводов, поскольку выборочное среднее является относительно эффективной оценкой генерального среднего. Если из генеральной совокупности значений наблюдаемой переменной случайно извлечь даже большое количество выборок, не следует ожидать точного равенства выборочных средних между собой или генеральному среднему. Однако, можно доказать, что выборочные средние отклоняются от генерального среднего меньше, чем выборочные медианы отклоняются от медианы генеральной совокупности. Можно также доказать (центральная предельная теорема), что выборочное распределение среднего приближается к нормальному распределению по мере увеличения объема выборки.

31. Мода

Другой мерой центральной тенденции является мода (Мо) - наиболее часто встречающийся результат. В интервальном частотном распределении мода определяется как середина интервала, для которого частота максимальна.

Пример: В ряду значений 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9 модой является 6, потому, что 6 встречается чаще любого другого числа.

Обратите внимание, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 6), а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).

Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений.

Пример: в выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина 

32.Медиана

медиана – среднее по порядку значение (принятые обозначения: Median, m). Медиана - это "серединное" значение признака в том смысле, что у половины объектов совокупности значения этого признака меньше, а у другой половины - больше медианы. Приближенно вычислить медиану можно, упорядочив все значения признака по возрастанию (убыванию) и найдя число в этом вариационном ряду, которое либо имеет номер (n+1)/2 - в случае нечетного n, либо находится посередине между числами с номерами n/2 и (n+1)/2 - в случае четного n.

Не все из перечисленных характеристик можно вычислять для качественных признаков. Если признак качественный и номинальный, то для него можно найти только моду (ее значением будет название наиболее часто встречающейся категории номинального признака). Если признак ранговый, то кроме моды для него можно найти еще и медиану. Среднее арифметическое значение можно вычислять только для количественных признаков.

В случае количественных данных все характеристики среднего уровня измеряются в тех же единицах, что и сам исходный признак.

Значения коэф-тов совпадают, если график распределения симметричен.

медиана (Ме), - результат, находящийся в середине последовательности показателей, если их расположить в порядке возрастания или убывания. Справа и слева от медианы (Ме) в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству данных (50% и 50%). Если ряд включает в себя четное количество признаков, то медианой (Ме) будет среднее, взятое как полусумма двух центральных значений ряда.

Пример: Найдем медиану выборки: 5, 4, 5, 6, 7, 3, 6, 2, 8, 6, 9, 7.

Упорядочим выборку: 2, 3, 4, 5, 5, 6, / 6, 6, 7, 7, 8, 9. Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две ``середины'' - 6 и 6. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений.

Ме 

Пример: Найдем медиану выборки с нечетным количеством значений: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.

Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в нее значений. Получим: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13. Поскольку в выборке семь элементов, четвертый по порядку элемент будет серединой ряда. Таким образом, медианой будет четвертый элемент - 8

Значения Ме и Мо полезны для того, чтобы установить является ли распределение частных значений изучаемого признака симметричным и приближающимся к нормальному распределению. Среднее арифметическое (М), медиана (Ме) и мода (Мо) для нормального распределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. При нормальном распределении результатов график распределения имеет форму колокола (рис. 2).

33. Среднее арифметическое

Среднеарифметическое (или выборочное среднее) значение представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута исследованию (выборка испытуемых). Сравнивая среднее значение двух или нескольких групп, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти группы, оцениваемого качества

Среднеарифметическое определяется по следующей формуле:

М = 

где М - среднеарифметическое значение

n - количество испытуемых

Пример: В исследовании объема вербальной механической памяти, тест ``10 слов'' в группе из 12 испытуемых (n = 12), получены следующие результаты (количество запомненных слов): 5, 4, 5, 6, 7, 3, 6, 2, 8, 6, 9, 7

Среднеарифметическое значение (М) 

Для данной выборки среднеарифметическое значение (М) = 5,6