3. Элементы линейной теории вязкоупругости.

Большинство полимерных материалов обладают одновременно как упругими, так и вязкими свойствами. Как было обсуждено в предыдущем разделе, упругие свойства проявляются в том, что в момент нагружения в полимерном теле возникает мгновенная деформация, которая исчезает сразу же после снятия нагрузки, вязкие - в развитии деформаций прямого и обратного последействия. Материалы, сочетающие в себе свойства вязких и упругих тел одновременно, называются вязкоупругими. К ним относят и полимерные композиционные материалы, которые в зависимости от вида и содержания армирующих наполнителей могут обладать преимущественно упругими свойствами либо преимущественно вязкими.

Для решения конкретных задач, связанных с исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций из таких материалов, нужно обладать сведениями о соотношении для них между напряжениями и деформациями. Для этого используют различные феноменологические, чисто механические модели вязкоупругого тела, не рассматривая вопросы структуры материалов. Такие модели сочетают в себе упругие и вязкие элементы, соединенные между собой различным образом. Упругий элемент, называемый телом Гука, изображается в виде пружины, а вязкий, называемый телом Ньютона, - в виде гидравлического амортизатора (демпфера) – рис. 3.1.

Деформация пружины под воздействием механического напряжения у моделирует упругую составляющую деформации вязкоупругого тела у. Связь между ними выражается законом Гука:

(3.1.),

где модуль упругости первого рода Е моделируется жесткостью пружины.

Вязкий элемент представляется цилиндром, заполненным вязкой жидкостью, в которой помещен поршень. При этом между стенкой цилиндра и поршнем имеется зазор, позволяющий поршню перемещаться в вязкой жидкости. Гидродинамическое сопротивление жидкости, которое возникает при перемещение поршня под действием силы, соответствует вязкому сопротивлению полимерного материала при его деформировании. Перемещение поршня относительно его начального положения моделирует вязкую составляющую полной деформации, которая обозначается в, а напряжение, возникающее в вязком элементе, обозначается в .Связь между этими величинами записывается в форме закона Ньютона:

(3.2.)

Коэффициент вязкости  моделирует сопротивление перемещению поршня в жидкости.

Простейшие модели вязкоупругого тела состоят из одного упругого и одного вязкого элементов, соединенных между собой либо последовательно, либо параллельно.

Чтобы установить связь между напряжением, приложенным к модели, и ее деформацией, выводится, так называемое, уравнение состояния, которое может быть получено на основе уравнений равновесия и совместности деформаций элементов модели с использованием законов Гука и Ньютона.

3.1. Модель Максвелла.

Последовательное соединение упругого и вязкого элементов (рис. 3.2.) носит имя Максвелла, впервые предложившего такую модель упруго вязкого тела.

Пусть к концам такого элемента приложено напряжение . Величину возникающих в упругом и вязком элементах напряжений можно определить с помощью метода сечений. На рис. 3.2. изображены схемы равновесия элементов модели, согласно которым напряжения в обоих элементах равны между собой и соответствуют напряжению, приложенному к концам модели. Следовательно,

(3.3.).

Деформация модели Максвелла равна сумме деформаций ее элементов, т.е.:

(3.4.)

Дифференцируя по времени левую и правую части равенства (3.4.), получим:

(3.5.)

Учитывая, что ,a

из равенства (3.5.) получаем:

(3.6.),

Где 

Уравнение (3.6.) называется уравнение состояния модели Максвелла.

В условиях ползучести при const и это уравнение принимает вид

(3.7.)

Интегрируя правую и левую части этого уравнения, получают:

(3.8.).

Постоянная интегрирования С определяется из начального условия, которое выражает величину деформации модели в момент приложения нагрузки, т.е. при t. Для нахождения этой величины рассмотрим механизм деформирования модели при ее нагружении, Если напряжение  прикладывается к концам модели мгновенно, то вязкая составляющая деформации равна нулю, т.к. поршень в этом случае не может переместиться из-за бесконечно большого гидродинамического сопротивления, и общая деформация модели будет равна деформации ее упругого элемента Следовательно, при Тогда уравнение (3.8.) принимает вид:

(3.9.)

Отношение представляет собой мгновенную деформации модели и обозначается

На рис. 3.4 представлен график зависимости t на участке прямого последействия, построенный по уравнению (3.9.). Как видно, эта зависимость на участке прямого последействия является линейной, что соответствует установившейся ползучести. Это не соответствует экспериментальным кривым ползучести, на которых участки прямого последействия состоят из участков неустановившейся и установившейся ползучести.

Если в некоторый момент времени произвести снятие нагрузки с модели Максвелла, то уравнение ее состояния примет вид:

(3.10.),

т.к. и

Из уравнения (3.10.) следует, что const. Величину этой деформации можно определить, рассмотрев механизм деформирования модели при ее разгрузке. Обозначим деформацию, накопленную к моменту времен , через . При полной разгрузке модели напряжения в упругом и вязком элементах модели станут равными нулю. При этом поршень остановится в положении, соответствующем моменту времени , а пружина мгновенно восстановит свою первоначальную длину, что отвечает мгновенному уменьшению деформации на величину , т.е. сразу же после разгрузки величина деформации станет равной и будет оставаться постоянной во времени (рис. 3.5), что не соответствует реальным экспериментальным данным.

Следовательно, модель Максвелла не описывает обратного последействия.

Таким образом, исследование ползучести с помощью модели Максвелла показывает, что она неудовлетворительно описывает процесс ползучести на участке прямого последействия и совсем не описывает процесс обратного последействия.

Если рассмотреть поведение модели Максвелла в условиях релаксации напряжений при const, то уравнение состояния модели (3.6.) примет следующий вид

(3.11).

Это дифференциальное уравнение представляет собой однородное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого предстанет в виде:

(3.12.),

где А – постоянная интегрирования, величина которой определяется из начального условия, устанавливающего величину напряжения в момент приложения нагрузки , т.е. при t Если нагрузка, вызывающая деформацию , прикладывается мгновенно, то деформация вязкого элемента равна нулю, вследствие бесконечно большого гидравлического сопротивления движению поршня. В этом случае полная деформация модели равна деформации ее упругого элемента, т.е. , из чего следует , что . В итоге окончательно получаем:

(3.13.).

Произведение · обычно называют мгновенным напряжением и обозначают o

На рис. 3.6. представлен график зависимости t, построенный по уравнению (3.13.).

Следует отметить, что при t∞ ‚σ→0 что свидетельствует о полной разгрузке модели с течением времени. При , т.е. величина представляет собой время релаксации модели Максвелла.

Кривая релаксации, получаемая с помощью, модели Максвелла, принципиально правильно описывает процесс релаксации напряжений, поэтому ее часто называют простейшей моделью релаксирующего тела.

3.2. Модель Кельвина.

Параллельное включение элементов Гука и Ньютона носит наименование модели Кельвина (рис.3.7.).

Если к концам модели Кельвина приложено растягивающее напряжение  , можно составить уравнение ее равновесия на основании схемы, изображенной на рис. 5.8.

Очевидно, что

(3.14.)

(3.15.)

Используя законы Гука и Ньютона в уравнении (3.14.), с учетом равенства (3.15.), получается уравнение состояния модели Кельвина:

(3.16.).

Для случая ползучести, т.е. при const., дифференциальное уравнение состояния (3.16.) не изменится.

Общее решение дифференциального уравнения состояния модели Кельвина записывается в следующем виде:

(3.17.).

График зависимости t при const., построенный по уравнению (3.17.), представлен на рис. 3.9.

Как видно, развитие деформации происходит при постоянном уменьшении скорости изменения деформации и ее асимптотическом стремлении к предельному значению, равному . Это отношение  иногда называют длительной деформацией и обозначают ∞ . Кроме того, на кривой ползучести отсутствует мгновенная деформация, что не согласуется с экспериментом.

Если в какой-то момент времени ti  произвести разгрузку, то уравнение состояния (3.16) примет вид:

(3.18),

так как .

Решение дифференциального уравнения (3.18.) получают в виде

(3.19.).

Постоянную интегрирования С находят из начального условия, которое определяет величину  в момент полной разгрузки, tt1 . Механизм деформирования модели Кельвина при разгрузке показывает, что после того, как напряжение, приложенное к концам модели, станет равным нулю, сумма напряжений в упругом и вязком элементах тоже станет равной нулю. Последнее возможно только в том случае, когда напряжения у и в будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, согласно равенству (3.14.). Очевидно, что после снятия нагрузки, упругий элемент будет стремиться восстановить свою первоначальную длину, оставаясь в растянутом состоянии, а вязкий элемент будет находиться в состоянии сжатия под усилием пружины (рис. 3.10.).

Поскольку поршень не может мгновенно переместиться в вязкой жидкости в момент разгрузки, величина деформации будет равна величине деформации 1, накопленной к моменту времени t1

Следовательно, при tt1

откуда следует, что

Подставляя выражение для С в решение (3.19.), окончательно получаем:

(3.20.)

Уравнение (3.20.) является уравнением кривой ползучести на участке обратного последействия. На рис. 3.11 представлена кривая зависимости t на участке обратного последействия.

Модель Кельвина описывает явление упругого последействия и, согласно ей, деформация со временем полностью исчезает. Исследование поведения модели Кельвина в условиях ползучести, показывает, что кривые прямого и обратного последействия отличаются от экспериментальных отсутствием мгновенной деформации и содержат лишь участки неустановившейся ползучести.

В условиях релаксации, т.е.при const. и  уравнение состояния (3.16.) модели Кельвина принимает вид закона Гука . Это свидетельствует, что модель Кельвина не описывает процесс релаксации.

Анализ поведения моделей Максвелла и Кельвина в условиях ползучести и релаксации показывает, что двухэлементные модели недостаточно точно описывают релаксационные процессы в полимерах. Чтобы механическая модель стала более универсальной, ее необходимо усложнить путем ввода, по крайней мере, третьего элемента.

3.3. Модель Максвелла – Томпсона.

Модель Максвелла-Томпсона представляет собой последовательное соединение модели Кельвина с упругим элементом Гука (рис.3.12.).

Вывод уравнения состояния модели Максвелла-Томпсона упрощается, если использовать уравнение состояния модели Кельвина. В этом случае модель можно изобразить так, как это показано на рис. 3.13.

Уравнение состояния составляется с помощью схем, изображенных на рис. 3.14.

В этом случае напряжения на концах модели Максвелла-Томпсона равны напряжениям, приложенным к концам модели Кельвина и во втором упругом элементе:

(3.21).

Индекс  в буквенных обозначениях параметров обозначает то, что данный параметр относится к модели Кельвина.

Полная деформация модели Максвелла-Томпсона равна сумме деформаций модели Кельвина и второго упругого элемента:

(3.22)

Связь между напряжением и деформацией модели Кельвина определяется ее уравнением состояния, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(3.23)

Закон Гука для второго упругого элемента можно записать в следующем виде:

(3.24).

Из уравнений совместности деформаций (3.22) следует, что

и

Подставляя выражения для k и dk dt в уравнение состояния модели Кельвина и произведя преобразования, получают уравнение состояния модели Максвелла-Томпсона:

(3.25),

где ; ; Eo =E2

При рассмотрении поведения модели Максвелла-Томпсона в условиях ползучести, уравнение состояния принимает вид:

(3.26).

Решение этого уравнения дает окончательную формулу для расчета деформации ползучести:

(3.27)

На рис. 3.15 представлен график зависимости t, построенный по уравнению (3.27).

Как видно, характер этой зависимости качественно согласуется с экспериментальными кривыми ползучести на участке прямого последействия. Действительно, в момент приложения нагрузки (при t) в модели возникает мгновенная деформация o, после чего величина деформации монотонно возрастает при постоянно уменьшающейся скорости изменения деформации и асимптотически приближается к своему предельному значению ∞. Теперь становится понятными обозначения модулей Еo и Е∞, которые называются мгновенным и длительным модулями упругости модели Максвелла-Томпсона соответственно. Модуль Еo определяет жесткость модели при ее мгновенном нагружении (при t), а модуль Е∞ - жесткость модели при t∞ (o ∞ 

Рассмотрим в рамках модели Максвелла-Томпсона процесс обратного последействия, т.е. определим зависимость t после полной разгрузки модели. В этом случае уравнение (3.25) состояния модели принимает вид:

(3.28),

решение которого приводит к окончательной формуле:

(3.29).

График зависимости t, построенный по уравнению (3.29), представлен на рис. 3.16. Как видно из этого графика, обратное последействие, получаемое с помощью модели Максвелла-Томпсона является упругим (поскольку при ∞  и качественно согласуется с экспериментальной кривой обратного последействия.

При рассмотрении поведения модели Максвелла-Томпсона в условиях релаксации уравнение ее состояния (3.25) принимает вид:

(3.30).

Проведя соответствующие преобразования, как это делалось в случаях предыдущих моделей, получают окончательное решение дифференциального уравнения состояния для случая релаксации:

(3.31).

Кривая релаксации, построенная по уравнению (3.31) и представленная на рис. 3.17 хорошо согласуется с экспериментальными кривыми релаксации полимерных материалов.

В разделе 2.2. дано понятие о времени релаксации, как о времени, в течение которого разность между мгновенным o и длительным ∞ напряжениями уменьшается в е раз (e ≈2,72. Согласно формуле (3.31) и рис. 3.17, oo∞o∞, а разность между текущим t и длительным ∞ напряжениями при t составляет to∞/е. Следовательно, 12 является временем релаксации модели Максвелла – Томпсона.

Как видно из сделанного анализа, модель Максвелла-Томпсона принципиально правильно описывает релаксационные процессы в полимерных материалах в хорошем согласии с экспериментальными данными. В связи с этим, эту модель часто называют моделью стандартного линейно-вязкоупругого тела.

Следует отметить, что из уравнения (3.25), используя метод вариации постоянной интегрирования при его решении, получают уравнения наследственной теории ползучести Больцмана – Вольтера (2.9) и (2.10).

3.4. Модели композиционных материалов.

В настоящее время известно большое количество моделей, набранных из элементов Гука и Ньютона, которые приводят к дифференциальным уравнениям, удовлетворительно описывающим релаксационные процессы, протекающие в различных полимерных материалах, включая и композиты на их основе. Деформационные и прочностные свойства композиционных материалов изучаются в зависимости от реологических свойств полимерного связующего и армирующего волокна, ориентировки арматуры и процентного соотношения компонентов. Не претендуя на универсальность, такой подход к учету реологических свойств обоих компонентов дает перспективу определения наиболее выгодной по деформационным свойствам комбинации полимерного связующего и арматуры для решения конкретных практических задач. На основании экспериментальных данных принимается, что полимерное связующее является упруго-вязким телом, а арматура – это идеальная упругая среда. В этом случае деформационное поведение полимерного связующего (матрицы) хорошо описывается моделью Максвелла-Томпсона. Основным недостатком уравнения этой модели является зависимость времени релаксации от режима и длительности нагружения, что, кстати, свойственно и ядру в интегральном уравнении Больцмана-Вольтерра.

Однако это обстоятельство не является принципиальным препятствием для применения закона типичного тела для описания деформационных свойств полимерного связующего композиционных материалов. Тем не менее, этот закон с достаточной точностью описывает только такие кривые ползучести, которые мало отличаются от экспоненты. Для количественного описания кривых ползучести, которые резко отличаются от экспоненты, применяется более сложная реологическая модель, показанная на рис.3.18.

Поскольку элементы этой модели включены последовательно, то все они находятся под одним и тем же напряжением , а полная ее деформация является суммой деформации отдельных ее элементов. Теоретические зависимости, полученные на основании анализа модели, приведенной на рис. 3.18, применимы не только для полимерного связующего, но и для описания реологических свойств любого однородного изотропного упруго-вязкого материала. В первом приближении к таким материалам относятся композиты, хаотически армированные короткими отрезками волокон.

Для однонаправленно армированных композитов предложена модель, представленная на рис. 3.19. Она состоит из модели А (модель типичного тела), которая схематизирует работу полимерной матрицы, и упругой пружины В, которая характеризует работу арматуры (стеклянного волокна или другого волокна, обладающего упругими свойствами, подчиняющимися закону Гука). Уравнение напряженно-деформированного состояния этой модели в оригинальной транскрипции имеет следующий вид:

(3.32)

где - коэффициент времени релаксации полимерного связующего;

; FA и FB - площади поперечного сечения полимерной матрицы (связующего) и арматуры;

и - модули мгновенной и длительной упругости полимерной матрицы;

EB - модуль упругости арматуры;

ε и - деформация композита и скорость ее изменения;

Р и - приложенная нагрузка и скорость ее изменения;

- коэффициент армирования.

При выводе уравнения (3.32) были сделаны следующие допущения:

1. Полимерное связующее и армирующее волокно деформируются совместно;

2. Все волокна являются выпрямленными и уложены в одном направлении;

3. Нагрузка приложена вдоль волокон;

4. Полимерное связующее и армирующее волокно в процессе деформирования композита находятся в одноосном напряженном состоянии.

Величины и

являются модулями мгновенной и длительной упругости композита.

Зависимость от содержания стеклянной арматуры по объему представлена на рис. 3.20.

Для композиционных материалов, армированных в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, в случае, когда направление действия нагрузки совпадает с одним из направлений армирования, реологическая модель представлена на рис.3.21.

Уравнение состояния для этой модели

(3.33),

где F-поперечное сечение образца, и – соответственно мгновенный и длительный модули упругости композитов в направлении x.

Следует отметить, что для количественного описания реологических кривых композиционных материалов, согласно приведенным выше моделей, вводится функция распределения податливости, что существенно усложняет решение задачи. Она может быть решена другим путем, если использовать модель, приведенную на рис.5.22, для которой принято, что коэффициент вязкости является функцией времени, т.е. η=η(t).

В этом случае принимается, что модули мгновенной и длительной упругости являются постоянными материала, а коэффициент времени релаксации является функцией времени, т.е

(3.34)

Реологическое уравнение состояния модели, представленной на рис. 5.22 имеет вид:

(3.35)

Это уравнение является приближенным, т.к. учитывает зависимость коэффициента времени релаксации только от длительности эксперимента, но не учитывает его зависимость от величины напряжения.

Основные преимущества формулы (3.35) заключаются в следующем:

• Функция является инвариантной относительно длительности статического нагружения;

• Все реологические коэффициенты могут быть просто определены по экспериментальным кривым ползучести;

• Более точное описание результатов эксперимента.

Из уравнения (3.35) следует, что для количественного описания реологической кривой необходимы следующие характеристики материала: мгновенный модуль упругости , длительный модуль упругости и функция изменения во времени коэффициента времени релаксации.

При const модуль определяет величину начальной ординаты кривой полных деформаций, т.е. упругую деформацию. Модуль определяет максимально возможную ординату кривой деформации, т.е. асимптоту, к которой эта кривая стремится. Между этими двумя крайними ординатами характер кривой полностью определяется функцией изменения времен релаксации . Здесь выдвигается только одно требование для этой функции – ее непрерывность. Конкретные решения уравнения (3.35) можно найти в монографиях и справочной литературе, приведенной в конце данного издания.