Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 33
.docЛекция 33. Тригонометрические ряды Фурье.
Рассмотрим пространство
2- периодических ,
кусочно-гладких на
функций, т.е.
в
том случае, если существует конечный
набор точек
на
такой, что функция
имеет
производную на каждом интервале
,
и в точках разрыва имеет односторонние
производные
.
В линейном пространстве
вводится скалярное произведение :
и согласованная с ним норма
.
Все интегралы существуют в собственном
смысле в силу ограничений наложенных
на функцию
.
Очевидно, что
.
П.1 Ортонормированная тригонометрическая
система в
.
Рассмотрим систему функций
.
Докажем ортогональность этой системы
:
0
(
).
Аналогично,
,
.
Вычислим
.
Аналогично,
(
).
,
.
Тогда система функций
,
,
…,
,
,
… ортонормированная.
ОПР. Тригонометрическим рядом Фурье
функции .
называют ряд
,
(1)
где
,
и
.
Ряд (1) совпадает с рядом Фурье функции
по ортонормированной системе
:
,
,
.
Тогда ряд Фурье по системе
:
.
ТЕОРЕМА 1 ( Достаточное условие сходимости тригонометрического ряда Фурье)
Если числовой ряд
(2) сходится, то ряд (1) равномерно сходится
на
к непрерывной функции
,
ряд Фурье которой совпадает с (1).
ДОК. Ряд (2) мажорирует ряд (1) на R
и поэтому (1) сходится на
равномерно к непрерывной функции
.
Тогда
=
.
Аналогично,
.
П.2 Выражение частичной суммы ряда Фурье. Ядро Дирихле.
,
где
- ядро Дирихле.
Преобразуем выражение для
:
.
Тогда n – ая частичная сумма ряда Фурье может быть представлена в виде :
.
СВОЙСТВА ядра Дирихле.
1) Функция
четная, периодическая
при любых n .
2)
при любых n .
Все функции, входящие в ядро Дирихле,
кроме
,
имеют период
и нулевой интеграл на отрезке длины
периода.
3)
для любого отрезка
,
для которого
.
ДОК. Пусть , например,
.Тогда
функция
,
для
.
Применим теорему о среднем к интегралу
.
СПРАВКА ( о цитируемой теореме о среднем для интеграла).
Если функция
непрерывна на отрезке
,
функция
и имеет производную, причем
,
на этом отрезке, то существует точка
,
для которой
.
Тогда существует
,
для которого
и с учетом ограниченности функции
косинуса
.
Пусть
.Тогда
с учетом четности ядра
.
Функция
и
на отрезке
.
Применим теорему о среднем к интегралу
для некоторого
.
СПРАВКА ( о цитируемой теореме о среднем для интеграла).
Если функция
непрерывна на отрезке
,
функция
и имеет производную, причем
,
на этом отрезке, то существует точка
,
для которой
.
Из ограниченности косинуса следует,
что
.
4)
для любого отрезка
,
если
.
ДОК. Заметим, что
.
По свойству 3) ядра интегралы
и
поскольку
и
.
Тогда
,
т.е.
.
Свойства 3) , 4) ядра можно сформулировать
так :
,
если
,
и
,
если
.
П.3 Поточечная сходимость рядов Фурье.
ОПР. Функция
называется кусочно-постоянной на отрезке
,
если существует его разбиение
такое, что
для
,
.
ЛЕММА 1. Для любого
и функции
найдется кусочно-постоянная
функция
на отрезке
такая, что
.
ДОК. Пусть
и
.
Тогда на каждом отрезке
,
:
функция
непрерывна и существует его разбиение
и число
такие, что
и
для любых
,
и
.
Полагаем
на отрезке
.
Тогда по построению
для
.
Для кусочно-постоянной функции
справедлива оценка
для всех
,
,
.(таких
точек конечное число и они не влияют на
значение интеграла Римана).
Тогда
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение леммы справедливо
для более широкого, чем
,
класса функций : функций абсолютно
интегрируемых на отрезке
,
т.е. для которых существует, возможно в
несобственном смысле, интеграл
.
ЛЕММА 2. ( Римана).
Для любой функции
справедливо
:
.
1. Если функция
кусочно-постоянна :
,
то
при
,
поскольку
функция косинуса ограничена, константы
и
зависят от функции
,
но не от
.
2.Если
,
то по лемме 1 для любого
существует
кусочно-постоянная функция
,
для которой
для всех
,
кроме, возможно, конечного числа точек.
Тогда
для
.
ЗАМЕЧАНИЕ. В доказательстве использовалось
утверждение леммы 1, которое справедливо
для абсолютно интегрируемых на [
]
функций
,
поэтому утверждение леммы 2 также
справедливо для функций из этого класса.
ТЕОРЕМА 2.( Дирихле)
Пусть функция
и для каждого
существуют односторонние производные
и
.
Тогда ряд Фурье функции
имеет в каждой точке x
сумму, равную
.
ДОК. Преобразуем выражение для частичной
суммы ряда Фурье :
.
Замена
дает
записать интеграл в виде :
.
В первом интеграле заменим
и
с учетом четности ядра получим :
.
Возвращаясь к прежним обозначениям,
имеем :
.
Оценим величину :
+
=
.
Для интеграла
:
=
=
.
Функция
,
поскольку существует предел
.
Применяя лемму 2, имеем
.
Для интеграла
:
=
.
Функция
,
поскольку существует предел
.
Применяя лемму 2, имеем
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Пространство функций со скалярным произведением. Ортонормированная система тригонометрических функций.
2) Тригонометрические ряды Фурье на
отрезке
.
Достаточное условие сходимости.
3) Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.
4) Ядро Дирихле и его свойства.
5) Лемма о приближении кусочно-непрерывной функции на отрезке кусочно-постоянной
функцией .
6) Лемма Римана.
7. Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье.