Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 30

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

238.59 Кб

Скачать

☆

Лекция 30. Степенные ряды.

П.1 Степенные ряды.

ОПР. Степенным рядом называют функциональный ряд вида : (1), где - его коэффициенты, a – центр ряда.

Структуру области сходимости степенного ряда подчеркивает

ТЕОРЕМА 1

Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится абсолютно для всех x на интервале .

ДОК. . Поскольку ряд (1) в точке сходится, его члены ограничены (даже стремятся к нулю) : для всех n . Для каждого величина и ряд сходящийся (ряд геометрической прогрессии). Тогда по признаку сравнения ряд сходится.

Следующая теорема уточняет характер сходимости (1) на замкнутом множестве.

ТЕОРЕМА 2. (АБЕЛЯ)

Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится равномерно для всех x на отрезке .

ДОК. Обозначим и . Применим преобразование Абеля к сумме . Из условия теоремы последовательность для и . Из сходимости (1) в точке следует, что для любого существуют для всех .Тогда

, поскольку для всех . Равномерная сходимость ряда (1) на D следует тогда из критерия Коши равномерной сходимости.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть функция непрерывна на отрезке D , а при

. Тогда если сходится ряд , то .

ОПР. Областью сходимости степенного ряда (1) называют множество , состоящее из тех точек , в которых ряд (1) сходится. Множество не пусто, поскольку .

ОПР. Радиусом сходимости степенного ряда называют число . Значение

соответствует тому, что =. Значение означает, что = и

ряд (1) сходится только в одной точке.

ОПР. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Следующая теорема дает возможность для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 3 (КОШИ-АДАМАРА)

Пусть . Тогда ряд(1) сходится абсолютно на интервале и расходится вне отрезка .

ДОК. Если , то и ряд сходится в одной точке . Если,

то и ряд сходится на всей числовой оси. Если R , то для

, что по радикальному признаку Коши означает сходимость ряда. Если , то ряд расходится по тому же признаку. При признак ответа не дает : ряд (1) может как сходится, так и расходится.

ПРИМЕР 1 Степенной ряд имеет радиус сходимости , сходится на интервале

, в точке расходится, а при сходится (условно).

ПРИМЕР 2 Степенной ряд имеет радиус сходимости , сходится на отрезке (абсолютно).

Другую формулу для вычисления радиуса сходимости дает

ТЕОРЕМА 4. (ДАЛАМБЕРА)

Пусть . Тогда ряд(1) сходится абсолютно на интервале и расходится вне отрезка .

ДОК. Если , что обеспечивает сходимость ряда по признаку Даламбера. При и ряд расходится по невыполнению необходимого признака.

ТЕОРЕМА 5.

Пусть степенной ряд(1) имеет радиус сходимости . Тогда для любого

ряд (1) сходится равномерно на отрезке .

ДОК. На данном отрезке функциональный ряд (1) мажорируется числовым : . По определению числа R , для существует , для которого . Тогда по теореме 1 ряд (1) сходится (абсолютно) для всех , в частности , т.е. ряд сходится абсолютно. По теореме о мажорирующем ряде ряд (1) сходится равномерно на отрезке .

Отметим ряд свойств степенных рядов, основанных теоремах о равномерной их сходимости.

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости.

Действительно, члены степенного ряда – непрерывные функции, поэтому его сумма – непрерывная функция на любом отрезке при , т.е. она непрерывна на интервале . Заметим, что непрерывность суммы на отрезке не гарантирована.

ПРИМЕР 3. Ряд имеет радиус сходимости и сумму (геометрическая прогрессия) равную , не являющуюся непрерывной на отрезке .

СЛЕДСТВИЕ 2. Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в интервале сходимости, при этом ряд из производных также степенной имеет тот же радиус сходимости и сумму, равную производной суммы ряда(1) внутри интервала сходимости.

Действительно, пусть ряд из производных (2) имеет радиус сходимости и его интервал сходимости, ряд (1) имеет радиус сходимости R и - его интервал сходимости . Пусть . Тогда ряд

абсолютно сходится (теорема 1) и справедливо неравенство :.

По признаку сравнения это означает сходимость ряда (1) в точке , т.е .

Пусть . Последовательность (необходимый признак), поэтому она ограничена : . Тогда для справедливо неравенство : . К ряду применим признак Даламбера , из которого следует, что он будет сходится при . Тогда по признаку сравнения ряд (2) сходится (абсолютно) в точке x, т.е. . Сравнивая два полученных неравенства, получим . На основании теоремы 5 ряд из производных (2) равномерно сходится на каждом отрезке и по теореме о дифференцировании функциональных рядов его сумма равна производной суммы ряда (1) на этом отрезке.