Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 31
.docЛекция 31 . Ряды Тейлора .
П.1 Ряды Тейлора.
Пусть степенной ряд
(1)
имеет сумму
в интервале
.
Тогда по теореме о дифференцировании
степенного ряда функция
имеет
производные любого порядка во всех
точках интервала
,
причем
для
всех
.
Поставляя
,
получим соотношения, связывающие
коэффициенты ряда (1) со значениями
производных функции
в точке
:
(2).
ОПР. Рядом Тейлора функции
в
окрестности точки
называют
степенной ряд (1),
коэффициенты которого определяются
формулами (2). В частном случае, при
ряд (1) с коэффициентами (2) называют рядом
Маклорена.
Таким образом, степенной ряд (1) является рядом Тейлора своей суммы.
Всегда ли ряд Тейлора функции
имеет
своей суммой ? Ответ в общем случае
отрицательный.
ПРИМЕР 1. Функция
имеет производные в точке
всех порядков, причем
,
.
РЕШЕНИЕ.
и
значение производной
в точке
доопределяется нулем. Аналогично,
выражение производной порядка k
:
,
где
-
многочлен степени
переменной
.
Тогда
и поэтому
.
Тогда все коэффициенты ряда Маклорена
функции
равны
нулю и сумма ряда нулевая для
и , следовательно, не равна
.
ОПР. Функция
разложима в ряд Тейлора в окрестности
точки
,
если ее ряд Тейлора сходится и имеет
сумму
для
при
некотором
.
Заметим, что n –
ая частичная сумма ряда Тейлора совпадает
с многочленом Тейлора функции
степени
n :
.
ОПР. Остатком ряда Тейлора называют
функцию
.
Выражение остатка ряда в форме Лагранжа
имеет вид:
для
,
а в форме Коши :
.
ТЕОРЕМА 1.( Необходимое и достаточное условие разложимости).
Функция
разложима
в ряд Тейлора на множестве
тогда и только, если
для всех
.
ДОК. Следует из определения сходимости ряда.
ТЕОРЕМА 2. (Достаточное условие разложимости)
Если функция
бесконечно дифференцируема на
при
и существует константа
такая, что
при
всех
и n , то функция
разложима в ряд Тейлора на
.
ДОК. Воспользуемся выражением остатка
ряда в форме Лагранжа :
.
Последовательность
бесконечно малая, поэтому остаток ряда
стремится к нулю.
П.2 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
1. Функция
.
Коэффициенты ряда Маклорена
.
На любом интервале
производные
ограничены, поэтому функция
разложима в ряд
(3)на любом интервале
,
т.е. на всей числовой оси.
2. Функция
.
Ряд для функции
получается из ряда (3) заменой x
на – x :
Сложением рядов получим,
,
.(4)
3. Функция
.
Поскольку
,
дифференцируем ряд (4) :
(5)
4. Функция
.
Производные
ограничены на
и коэффициенты
. Тогда ряд для косинуса примет вид :
(6)
5. Функция
.
Поскольку
,
ряд для синуса получается дифференцированием
ряда (6) :
(7)
6. Функция
.
Ряд геометрической прогрессии
сходится при
.
Заменяя x на - x
, получим
Интегрируем ряд на отрезке
:
(8)
Поскольку функция
непрерывна на
и ряд (8) сходится в точке
,
( ряд Лейбница) то на основании СЛЕДСТВИЯ
сумма ряда в точке
равна
,
т.е.
Поэтому разложимость функции
в ряд (8) происходит на множестве
.
7. Функция
.
Рассмотрим степенной ряд
Найдем его радиус сходимости :
,
т.е. ряд сходится для
и имеет там сумму
.
Заметим, что
и
.
Тогда
.
Заметим, что
и
,
т.е.
для
(9).
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1. Ряд Тейлора функции. Разложимость функции в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции.
2. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Примеры.