Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 34
.docЛекция 34 . Преобразования Фурье. Интеграл Фурье.
П.1 Преобразование Фурье.
В дальнейшем рассматриваются функции
,
определенные на полуоси
или
,
для которых существуют интегралы
или
.
Пространство таких функций обозначается
через
или
.
ОПР. Синус – преобразованием Фурье
функции
называют функцию действительной
переменной
,
равную
.
ОПР. Косинус – преобразованием Фурье
функции
называют функцию действительной
переменной
,
равную
.
ОПР. Комплексным преобразованием Фурье
функции
называют функцию действительной
переменной
,
равную
.
Все указанные интегралы абсолютно
сходятся, поскольку
,
или
для всех
и
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если
четная функция, то
=
,
поскольку функция
нечетная и
.
Если
нечетная функция, то
.
Функция
называется образом функции
при преобразовании Фурье, а
-
ее прообразом.
СВОЙСТВА преобразования Фурье.
1. Линейное свойство :
и
.
Док. Из линейности интеграла.
2. Свойство подобия :
.
Док.
замена
=
.
3. Сдвиг аргумента прообраза:
.
Док.
замена
.
4. Сдвиг аргумента образа :
.
Док.
.
5. (теорема о дифференцировании образа)
.
Док. Из дифференцирования интеграла по
параметру : (предполагается ,что
)
.
n – кратное
применение формулы даст результат :
.
6. ( теорема о дифференцировании прообраза)
.
( предполагается, что
).
Док.
по
частям=
=
,
поскольку из сходимости интеграла
следует, что
.
n – кратное
применение формулы даст результат :
.
ОПР. Сверткой
двух функций из
называют
функцию
=
7. (теорема о свертке) :
.
Док.
=
= замена
во
внутреннем интеграле =
=
.
ПРИМЕР 1.
,
.
Найти
,
,
.
РЕШЕНИЕ.
=
.
=
.
=
Если известны функции
,
или
,
принадлежащие пространству
,
т.е.
,
являющиеся соответственно синус,
косинус и комплексным Фурье преобразованием
функции
,
то преобразования
,
,
(1)
,
,
(2)
,
.
(3)
называются обратными к синус, косинус и комплексным преобразованиям Фурье.
В следующем пункте поясняется, что
название «обратное преобразование»
здесь уместно, поскольку оно сохраняет
смысл обратного отображения :
.
П.2 Интеграл Фурье.
Пусть
непериодическая
функция.. Тогда существуют интегралы
и
,
являющиеся непрерывными аналогами
коэффициентов ряда Фурье функции
.
Тогда выражение
называется интегралом Фурье функции
и
является непрерывным аналогом ряда Фурье для непериодической функции.
Следующая теорема является аналогом теоремы Дирихле для поточечной сходимости
ряда Фурье.
Теорема. (о поточечной сходимости интеграла Фурье )
Если
кусочно-непрерывна на любом конечном
отрезке числовой оси, абсолютно
интегрируема на R и
в каждой точке
у нее существуют односторонние производные
и
.
Тогда
.
(без доказательства)
Таким образом, в точках непрерывности
функции
,
а точек разрыва первого рода у функции
не более чем конечное число , имеем
.
Преобразуем интеграл Фурье к иной форме:
= с учетом четности подынтегральной
функции по y =
.
Заметим, что
с учетом нечетности подынтегральной
функции
по переменной y
.
Тогда
+i
=
замена буквы y на
p = =
=
=
.
Последнее показывает, что преобразования
и
обратные как отображения.
ПРИМЕР 2 Доказать, что образом функции
при преобразовании Фурье является
функция
.
РЕШЕНИЕ. Найдем прообраз
с помощью обратного преобразования :
.
ПРИМЕР 3. Найти образ функции
,
при косинус преобразовании Фурье.
РЕШЕНИЕ.
.
Из свойства
,
где
-
четное продолжение функции
на всю ось R . Тогда
по свойству 4 и результату примера 2
=
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1)Синус, косинус и комплексное преобразование Фурье. Свойство линейности, подобия,
сдвига образа и прообраза комплексного преобразования Фурье.
2) Свойства дифференцирования образа и прообраза комплексного преобразования Фурье.
3) Теорема о свертке. Обратные синус, косинус и комплексное преобразование Фурье.
4) Интеграл Фурье. Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье
(без доказательства). Связь между интегралом Фурье и преобразованием Фурье.