Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 27

Лекция 27 Ряды с положительными членами.

П.1 Понятие числового ряда. Основные понятия.

Рассматривается числовая последовательность вещественных (или комплексных) чисел. Сумма первых k ее членов называется k – ой частичной суммой : .

ОПР. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. - сумма числового ряда.

Член последовательности называют n - ым членом или общим членом числового ряда. Если предела последовательности не существует или он бесконечный , то соответствующий числовой ряд называют расходящимся.

ПРИМЕР 1. Исследовать на сходимость числовой ряд с общим членом

(ряд геометрической прогрессии).

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой суммы k членов геометрической прогрессии :

. Если , существует предел =

При для любого n и и соответствующий ряд расходится.

При последовательность ограничена, но не имеет предела и ряд также расходится. Расходимость ряда при следует из неограниченности последовательности и , как следствие, отсутствие у нее предела.

Применяя к критерий Коши для последовательности, получим

КРИТЕРИЙ КОШИ для ряда .

Числовой ряд сходится в том и только в том случае, если .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность сходится в том и только в том случае, если к ней применим критерий Коши : .

ТЕОРЕМА1. ( НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ сходимости ряда )

Если ряд сходится, то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По критерию Коши .

Существуют расходящиеся ряды, для которых .

ПРИМЕР 2. ( гармонический ряд). Доказать , что ряд расходится.

РЕШЕНИЕ. Действительно,

для любого n , и критерий Коши для последовательности не выполняется, т.е. ряд расходится.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Если ряд (1) сходится, то ряд также сходится при любом .

2. Если ряды (1) и (2) сходящиеся, то ряд сходящийся.

П2. Ряды с положительными членами.

Если для любого n , то ряд (1) называют рядом с положительными членами.

ТЕОРЕМА 2. Для сходимости числового ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ряд (1) сходится, то последовательность сходится,

и потому является ограниченной. Если ряд с положительными членами, то для любого n , т.е. последовательность монотонно возрастает. Если ограничена, то она , как известно, имеет предел и ряд (1) сходится.

Применение этого простого (необходимого и достаточного !) условия сходимости рядов с положительными членами затруднено тем, что нахождение частичных сумм не всегда возможно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если ряд получен из ряда отбрасыванием первых N его членов, то его сходимость ( или расходимость ) от этого не изменяется. Это обусловлено тем, что критерий Коши , примененный к этим рядам , не опирается на значения первых N его членов.

ТЕОРЕМА 3. ( Признак СРАВНЕНИЯ 1 для рядов с положительными членами)

Если ряды (1) и (2) с положительными членами удовлетворяют условию :

для всех , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из сделанного ЗАМЕЧАНИЯ можно полагать, что неравенство выполняется для любого n . Если и частичные суммы рядов (1) и (2), то

и из ограниченности частичных сумм ряда (2) следует ограниченность частичных сумм ряда (1) и на основании теоремы2 сходимость ряда (1). Если ряд (1) расходится, то неограниченны и неограниченны . Тогда на основании теоремы 2 ряд (2) расходится.

ТЕОРЕМА 4. (Признак СРАВНЕНИЯ 2 для рядов с положительными членами)

Если ряды (1) и (2) с положительными членами удовлетворяют условию :

, то при сходимость и расходимость рядов (1) и (2) одновременная.

Если , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Из определения предела для и . Тогда на основании теоремы 3 из сходимости (1) следует сходимость (2) и наоборот. Из расходимости (1) следует расходимость (2) и наоборот. Пусть . Тогда . Из последнего неравенства утверждения теоремы 4 следуют из теоремы 3.

ТЕОРЕМА 5. (Признак ДАЛАМБЕРА для рядов с положительными членами) .

Если общий член ряда (1) удовлетворяет условию , то при ряд сходится, а при расходится. При признак ответа не дает.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Выберем столь малым, что . Тогда Ряд сходящийся (геометрическая прогрессия со знаменателем ) и поэтому на основании признака сравнения сходится ряд (1). Пусть . Выберем столь малым, что . Тогда Ряд расходящийся(геометрическая прогрессия со знаменателем ) и поэтому на основании признака сравнения расходится ряд (1).

ТЕОРЕМА 6 .( ИНТЕГРАЛЬНЫЙ признак КОШИ)

Если монотонно убывающая на функция, и интеграл

сходится, то ряд с общим членом сходится. Если интеграл

расходится, то ряд расходится.

ДОКАЗАТЕЬСТВО. Из монотонности : для всех . Тогда

. Если интеграл , то

и для ряда (1) выполняется критерий Коши и ряд сходится. Если интеграл расходится, то последовательность неограниченна и частичные суммы

также неограниченны. Последнее свидетельствует о расходимости ряда (1).

ПРИМЕР 3. Исследовать на сходимость ряд в зависимости от параметра p.

РЕШЕНИЕ. Если , то ряд расходится по невыполнению необходимого признака.

Пусть . Тогда функция монотонно убывает на и интеграл

. Если , то интеграл сходится и по интегральному признаку сходится ряд. Если , то интеграл расходится и по интегральному признаку расходится ряд. При (гармонический ряд) расходимость ряда была доказана в примере 2.

ТЕОРЕМА 7. ( РАДИКАЛЬНЫЙ признак КОШИ)

Пусть ряд с положительными членами, для которого существует . Тогда

при ряд сходится , при ряд расходится. При признак ответа не дает.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Число выберем настолько малым, что . Тогда . Поскольку сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем ),по признаку сравнения1

ряд (1) сходится. Пусть . Число выбираем настолько малым, что . Тогда . Поскольку расходится

(геометрическая прогрессия со знаменателем ) , по признаку сравнения 1

ряд (1) расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для обобщенного гармонического ряда (пример 3) для любого константа в признаке ДАЛАМБЕРА и РАДИКАЛЬНОГО КОШИ.

Действительно, в признаке ДАЛАМБЕРА

В признаке КОШИ . Однако, при ряды сходятся, а при расходятся, поэтому пограничный случай может содержать сходящиеся и расходящиеся ряды. Признаки ДАЛАМБЕРА и РАДИКАЛЬНЫЙ КОШИ в этом случае ответа не дают.

УПРАЖНЕНИЕ. Исследовать на сходимость ряд при и различных значениях параметра p .

Следующий признак помогает разобраться с ситуацией .

ЛЕММА. Если ряды (1) и (2) с положительными членами удовлетворяют условию :для всех , то из сходимости ряда (2) следует сходимость

ряда (1). Если для всех , то из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если перемножить неравенства при , то

или . Из последних двух неравенств и признака сравнения 1 следует утверждения леммы.

ТЕОРЕМА 8. ( Признак сходимости РААБЕ)

Если ряд с положительными членами и , то при ряд сходится, а при расходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Условие теоремы перепишем в виде

. Если , то . Пусть и выберем число q :. Тогда ряд сходится и , что по лемме означает сходимость ряда (1). Пусть . Выберем число q :. Тогда ряд расходится для . Тогда по лемме ряд (1) расходится.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Понятие сходимости числового ряда. Критерий Коши для сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости.

2. Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

3. Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 1 рядов с положительными членами.

4. Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 2 рядов с положительными членами.

5. Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

6. Числовые ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши.

7. Числовые ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.

8. Числовые ряды с положительными членами. Признак Раабе.