Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 35

Лекция 35. Двойной интеграл.

П.1 Измеримые множества на плоскости. Мера множества.

ОПР. Областью на плоскости назовем открытое, связное множество, т.е

1) вместе с каждой точкой области принадлежит и внутренность некоторого круга с центром в точке ;

2) для любых двух точек и области существует непрерывная кривая , для которой и .

ОПР. Границей области называют множество точек T плоскости , для которых любой круг с центром в точке содержит точки и точки .

ОПР. Множество называется замкнутой областью (замыкание ).

ОПР. Многосвязная область – конечное объединение односвязных областей.

ОПР. Область ограничена, если существует круг на плоскости, содержащий .

ПРИМЕРЫ областей.

1. Прямоугольник - замкнутая область, параметр

прямоугольника - длина его диагонали.

2. Ступенчатая область - объединение конечного числа прямоугольников , , пересекающихся только по границе. Ступенчатая область вписана в , если

, и описана около , если . Параметром ступенчатой области называют число =. Он характеризует малость диагоналей прямоугольников, составляющих .

Объединением двух ступенчатых областей и назовем ступенчатую область ,

для которой 1) =( как множества на плоскости) 2) набор прямоугольников , , составляющих , удовлетворяет условиям : для любых прямоугольников , и , существуют наборы и прямоугольников из , для которых и . Очевидно, и .

3. Криволинейная трапеция , где функции

- непрерывные функции на отрезке [a;b]. Границей области являются прямые

и , а также графики функций . Такую область будем называть стандартной по оси ОХ. Стандартной областью по оси ОУ будем называть криволинейную трапецию .

4. Область с кусочно-гладкой границей – объединение конечного числа стандартных областей по осям ОХ и ОУ, пересекающихся только по участкам прямолинейных границ,

а функции , дифференцируемы на соответствующих отрезках.

ОПР. Верхней мерой области называют число ,

где - ступенчатые области , описанные около , - сумма площадей прямоугольников, составляющих .

ОПР. Нижней мерой области называют число , где - ступенчатые области , вписанные в , =) - сумма площадей прямоугольников, составляющих .

Числа и существуют для любых ограниченных областей на плоскости.

ОПР. Область на плоскости измерима, если ==.

Число называется мерой (площадью) области .

В рассмотренных примерах :

1. )=.

3. ,

Верхняя и нижняя меры этих областей совпадают с верхним и нижним интегралами

подынтегральных функций и их равенство равносильно интегрируемости этих функций.

Измеримость областей из примеров 2) и 4) следует из того, что они составлены из конечного числа областей 1) и 3).

СВОЙСТВА МЕРЫ.

1. .

2. Если области и измеримы, , то .

3. Если измеримая область, то .

ДОК. области вписанная и описанная такие, что / и (/), т.е. .

4. Если области и измеримы и пересекаются только по границе, то

.

5. Если области и измеримы, то измеримы , и

П.2 Понятие двойного интеграла.

Пусть функция определена в измеримой области на плоскости и -

ступенчатая область . В каждом прямоугольнике выбирается произвольная точка .

ОПР. Интегральной суммой функции в области , называют выражение

,

зависящее от выбранной ступенчатой области и набора точек .

ОПР. Интегралом Римана функции в области , называют число

=,

Если интеграл существует, то функция называется интегрируемой по Риману в области .

ПРИМЕР 1. Вычислить, исходя из определения, интеграл .

РЕШЕНИЕ. Разобьем прямоугольник на прямоугольники , , . Функция интегрируема на и интеграл не зависит от разбиения на прямоугольники и выбора точек . В качестве точек возьмем . Тогда интегральная

сумма .

Параметр разбиения , поэтому с ростом n стремится к нулю.

==.

ТЕОРЕМА 1. (необходимое условие интегрируемости)

Если функция интегрируема на , то функция ограничена на .

ДОК. Если функция интегрируема, то все ее интегральные суммы ограничены.

Если бы функция оказалась неограниченной, то она была бы неограниченной на некотором прямоугольнике и существует последовательность точек , для которых . Тогда последовательность интегральных сумм,

у которых не меняются точки для , а неограниченная , поскольку одно из слагаемых в сумме растет с ростом n , а другие неизменны.

Колебанием функции называют величину : .

Здесь через обозначено значение функции в точке , -

расстояние между точками и на плоскости.

Если функция непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве, то она равномерно непрерывна и функция переменной непрерывна в нуле.

Лемма . Если - прямоугольник с параметром и - его разбиение на прямоугольники, пересекающиеся только по границе, точка , точки - произвольные , функция непрерывна на , то справедлива оценка :

(1)

ДОК.

.

ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия интегрируемости)

Всякая непрерывная на замкнутом, ограниченном и измеримом множестве функция

интегрируема на .

ДОК. Покажем, что последовательность интегральных сумм удовлетворяет критерию Коши, т.е. .

Пусть . Рассмотрим объединение ступенчатых областей и . Пусть -

- набор прямоугольников из , для которых , , и - набор прямоугольников из , для которых , . Из измеримости области следует, что существует , для которого для любых и ,

, , где - константа, ограничивающая значения функции в области . Кроме того, число столь малое, что и

, . Тогда .

Поскольку каждый прямоугольник является объединением прямоугольников

для , к нему применимо утверждение леммы (1):

. (2)

Аналогичное неравенство справедливо для области :

(3)

Объединяя неравенства (2) и (3), приходим

+.

Поскольку последовательность интегральных сумм фундаментальная, она сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемость функции сохранится, если кусочно-непрерывна на , т.е. существует конечное число измеримых областей : , пересекающихся только по границе, на которых функция непрерывна во внутренних точках и непрерывно продолжена на границу .

ЗАМЕЧАНИЕ. В определении двойного интеграла могут быть использованы разбиения области на области : , , вместо прямоугольников , поскольку в силу измеримости их можно приблизить прямоугольниками.

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.

1.Свойство линейности : .

ДОК. Следует из линейности интегральных сумм и свойств пределов.

2. Если интегрируемая функция на , то .

Если в точке P функция непрерывна и , то .

ДОК.

Неотрицательность интеграла следует из неотрицательности любой интегральной суммы.

Из непрерывности функции в точке P следует, что существует круг с центром в точке P , внутри которого функция положительна и .

3. Если непрерывна в области , , , то

.

ДОК. Каждая интегральная сумма удовлетворяет неравенству и неравенство для интеграла получается предельным переходом.

4. (теорема о среднем для интеграла)

Если непрерывна в области , то существует точка , для которой

=.

ДОК. Область значений непрерывной функции . По свойству 3

, т.е. найдется , для которой =f(C).

5. ( аддитивность по множеству)

Если и два измеримых множества не пересекаются ( или пересекаются только по границе), определена и измерима на , то

+.

ДОК. Каждой ступенчатой области и соответствует свои слагаемые в интегральной сумме , предел которых соответствует интегралам по областям и .