Лекции по математическому анализу_1 / Лекция 29

Лекция 29. Функциональные последовательности и ряды.

П.1 Функциональные последовательности.

ОПР. Областью определения функциональной последовательности называется

множество значений , для которых определены все функции , .

ОПР. Областью сходимости функциональной последовательности называется множество значений , для которых существует , т.е.

.

ОПР. Функциональная последовательность сходится к функции на

равномерно, если .

Отличие сходимости от равномерной сходимости проявляется в том, что в первом случае число N зависит от точки x и может неограниченно расти при изменении x , а во втором выбирается единым для всех и определение равномерной сходимости может быть записано в виде :

ПРИМЕР 1. Последовательность сходится к на множестве , причем равномерно на любом множестве вида или ,

. В первом случае (целая часть), а во втором .

ПРИМЕР 2. Последовательность на множестве сходится к функции

неравномерно, поскольку для любого n .

ПРИМЕР 3. Последовательность сходится к на множестве , но неравномерно, поскольку и .

КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости.

Последовательность функций сходится на множестве равномерно в том и только в том случае, если и .

ТЕОРЕМА 1. Если последовательность ограниченных на множестве D функций равномерно сходится на D к функции , то функция ограничена на D .

ДОК. Из ограниченности следует, что существуют константы , для которых . Из условия равномерной сходимости следует, что для . Тогда

для всех .

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность непрерывных на множестве D функций равномерно сходится на D к функции , то функция также непрерывна на D .

ДОК. Пусть - произвольная точка множества . Из равномерной сходимости следует, что и , в частности, . Из непрерывности функции в точке следует, что

. Тогда

.

УПРАЖНЕНИЕ. На каком множестве последовательность функций сходится равномерно ?

П.2 Функциональные ряды.

ОПР. Функциональный ряд (1) сходится на множестве , если на этом множестве сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует функция , определенная на , для которой .

ОПР. Функциональный ряд сходится на множестве равномерно, если последовательность сходится к равномерно на .

Справедлив КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости функционального ряда :

Ряд (1) сходится на равномерно в том и только в том случае, если и .

ТЕОРЕМА 3. ( Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

Пусть и числовой ряд (2) сходится. Тогда ряд (1) сходится равномерно.

ДОК. Из критерия Коши сходимости ряда (2) следует, что и

. Тогда для

всех и для ряда (1) выполнен критерий равномерной сходимости.

ТЕОРЕМА 4. Если члены ряда (1) непрерывные функции на , ряд (1) равномерно сходится на и имеет сумму , то - непрерывная на функция.

ДОК. Следует из теоремы 2, поскольку частичные суммы ряда непрерывны и равномерно сходятся к , которая в силу этого непрерывна.

П.3 Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей.

ТЕОРЕМА 5.( О интегрировании функциональной последовательности)

Пусть последовательность непрерывных на [a;b] функций, равномерно сходящаяся к функции . Тогда для любого функциональная последовательность равномерно сходится к функции .

ДОК. Из равномерной сходимости и

. Тогда

для всех .

ТЕОРЕМА 6. ( О интегрировании функционального ряда)

Пусть ряд (1) из непрерывных на функций равномерно сходится на отрезке . Тогда для любого функциональный ряд , где сходится равномерно на отрезке .

ДОК. Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что и . Тогда

для всех .

ТЕОРЕМА 7. ( О дифференцировании последовательности функций)

Пусть последовательность непрерывно дифференцируемых на [a;b] функций, причем последовательность из производных равномерно сходится

на к функции и существует , для которого числовая последовательность сходится, причем .

Тогда последовательность равномерно сходится на к функции

и поэтому .

ДОК. Воспользуемся теоремой 5 : последовательность равномерно сходится к функции . Тогда последовательность равномерно сходится к .

ТЕОРЕМА 8. ( О дифференцируемости функционального ряда)

Пусть для ряда известно, что 1) функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , 2) ряд из производных равномерно сходится на и имеет сумму , 3) существует точка , для которой числовой ряд сходится и имеет сумму А. Тогда ряд равномерно сходится на и имеет непрерывно дифференцируемую сумму , причем для .

ДОК. По условию 2) и теореме 6 последовательность частичных сумм = равномерно сходится к функции .

Из условия 3) следует, что ряд сходится равномерно на и имеет сумму

. Тогда для .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Сходимость функциональной последовательности, равномерная сходимость на множестве, критерий Коши равномерной сходимости. Теорема о равномерной сходмости

последовательности ограниченных функций.

2. Теорема о равномерной сходимости последовательности непрерывных функций.

3. Функциональные ряды, сходимость. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости рядов. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

4.Теоремы об интегрировании функциональной последовательности и ряда.

5. Теоремы о дифференцировании функциональной последовательности и ряда.