1.2. Точечные оценки статистических характеристик

Случайную величину можно изучать с помощью числовых характеристик. 1.Выборочная средняя (равна среднему арифметическому всех значений Х)

,

2.Исправленная выборочная дисперсия (характеризует разброс значений Х относительно выборочной средней)

,

3.Стандарт

,

4.Асимметрия (характеризует симметричность распределения значений Х относительно выборочной средней; для нормального закона распределения А=0. )

5.Эксцесс (характеризует островершинность кривой плотности распределения ; для нормального закона распределения Е=0.)

,

где - число интервалов группировки.

По полученным числовым характеристикам выборки можно сделать вывод о соответствующих числовых характеристиках генеральной совокупности.

Пример. 1. Вычисление оценок выборочного среднего, дисперсии, среднего квадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса случайной величины

0.386	-0.427	0.182	-0.078	0.033	0.910	-0.388	0.166
0.927	-0.272	0.074	-0.020	0.005	0.296	-0.080	0.022
5.409	-0.117	0.014	0.002	0.000	0.193	-0.023	0.003
6.491	0.037	0.001	0.000	0.000	0.017	0.000	0.000
5.564	0.192	0.037	0.007	0.001	0.294	0.056	0.011
3.400	0.346	0.120	0.041	0.014	0.479	0.166	0.057
3.014	0.501	0.251	0.126	0.063	0.752	0.377	0.189
25.19					2.941	0.108	0.447

, , , , , , .

2. Вычисление оценок выборочной средней, дисперсии и стандарта случайной величины Y.

;

1.3. Вычисление интервальных оценок для математического ожидания и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности,

представленной выборкой Х.

Доверительным называется интервал, который включает неизвестный параметр с заданной надежностью .

По виду кривой плотности статистической вероятности можно выдвинуть предположение о нормальном распределении изучаемой случайной величины .

В этом случае можно по выборочному среднему и стандарту найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности случайной величины при заранее заданной надежности , близкой к 1 (например, ). Этот интервал находится, исходя из неравенства

,

определяется из таблицы (приложение 1) или в [1] по параметрам и объему выборки .

Окончательно доверительный интервал для :

.

Аналогичные рассуждения дают возможность найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормально распределенной случайной величины

,

определяется из таблицы (приложение 2) или в [1] по и . Тогда доверительный интервал для :

.

Пример. В нашем примере при найденных , для случайной величины и заданных и находим и .

,

Отсюда,

,

,

,

.

С надежностью можно утверждать, что истинные значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности находятся в указанных интервалах.