17 Диференціювання ф-ї комплексної змінної (фкз). Умови Коші-Рімана

ФКЗ називається диференційовною в точці , якщо вона визначена в цій точці та деякому її околі і має місце рівність: , . Похідною ф-ї називається: .

існування скінченої похідної ф-ї в точці рівносильне її диференційовності;

якщо ф-я диференційовна, то вона неперервна в точці, проте не напаки;

Теор.: Для того, щоб ф-я була диференційовною в точці необхідно і достатньо виконання наступних умов:

ф-ї та повинні бути неперервно диференційовними в точці

Справедливі умови Коші-Рімана:

Доведення: Покладемо

Тепер покладемо

18. Теорема Коші для однозв’язної області Теорема Коші для багатозв’язної області

Якщо ф-я аналітична в однозв’язній обл. , то інтеграл від цієї ф-ї по будь-якому замкнутому контуру , що лежить обл. , рівний нулю .

Доведення: Припустимо що похідна неперервна. Маємо

. В силу аналітичності і неперервності в однозв’язній обл. , то ф-ї і неперервні і диференційовні в цій обл. і задовольняють умовам Коші-Рімана: , . Ці умови означають рівність нулю інтегралів і . Звідси слідує, що .

Р озглянемо на прикладі 3-звязної обл. , що обмежена зовнішнім контуром і внутр. контурами та . Проведемо 2 розрізи і області , отримаємо однозв’язну обл. , обмежену замкнутим контуром , що складається з контурів , , і розрізів та : . По теоремі Коші для однозв’язної обл. , але , так як кожний із розрізів і при інтегруванні проходиться двічі різними напрямами. Тому отримуємо , тобто інтеграл від аналітичної в замкнутій області ф-ї по границі області , що проходиться в додатному напрямку, рівний нулю.

20. Класифікація ізольованих особливих точок ф-ї.

Якщо ф-я аналітична в крузі з виколотим центром і неаналітична в точці , то така точка називається ізольованою особливою точкою цієї ф-ї.

Ізольована особлива точка ф-ї називається усувною особливою точкою, якщо ряд Лорана в області для такої ф-ї не містить від’ємних степенів.

Ізольована особлива точка ф-ї називається полюсом n-го порядку, якщо ряд Лорана для цієї функції в області містить скінчену кількість від’ємних степенів найвищим з яких є .

Ізольована особлива точка ф-ї називається істотно особливою, якщо ряд Лорана для цієї ф-ї в області містить нескінченну кількість від’ємних степенів.