1 Поняття про числовий ряд і його суму.Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд. Залишок ряду. Властивості збіжних рядів

Нехай задано числову послідовність . Тоді вираз називається числовим рядом; елементи послідовності − членами ряду; елемент − n-м членом ряду; суму − частинною сумою ряду.

Числовий ряд називається збіжним, якщо послідовність частинних сум збігається до деякого числа S, що називається сумою ряду:

Якщо не існує скінченої границі послідовності, то ряд називається розбіжним.

-Нехай маємо ряд , тоді , де та . У збіжних рядів загальний член ряду завжди прямує до нуля при . Це називається необхідною умовою збіжності. Відповідно можна стверджувати, що коли загальний член ряду не прямує до нуля ряд є розбіжним. Це називається достатньою ознакою розбіжності.

Ряд вигляду називається гармонічним. Таким чином маємо в результаті чого залишок суми ряду завжди більший за 1/2, а отже у відповідності до критерію Коші ряд є розбіжним. Ряд вигляду називається узагальненим гармонічним.

Будь-який ряд можна записати у вигляді , де , при цьому величина називається залишком (хвостом) ряду.

Властивості збіжних рядів:

Якщо , то

Якщо і , то

, де та . Це є необхідною умовою збіжності.

, де та .

2 Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами

Перша ознака порівняння.

Нехай маємо ряди та , при цьому для всіх значень виконується нерівність , тоді:

із збіжності першого ряду випливає збіжність другого ряду.

із розбіжності другого ряду випливає розбіжність першого ряду.

Гранична ознака порівняння.

Нехай для членів рядів та існує скінченна границя , причому . Тоді ці ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Доведення: (доведемо, що, якщо другий ряд розбігається, то перший також розбігається):

Для будь-якого знайдеться такий номер починаючи з якого , де . Таким чином . Отже відповідний „хвіст” першого ряду більший за хвіст другого ряду помноженого на . Оскільки відповідно до критерію Коші „хвіст” другого ряду не прямує до нуля, то не прямує до нуля і „хвіст” першого ряду, що свідчить про його розбіжність.

:

3. Ознака д’Аламбера. Радикальна та Інтегральна ознаки Коші.

Ознака Д’Аламбера.

Якщо для ряду , існує границя , то при - ряд розбіжний; при - ряд збіжний; при - ряд вимагає дослідження за допомогою інших ознак.

Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду існує границя , то при - ряд розбіжний, при - ряд збіжний і при - ряд потребує подальшого дослідження іншим методом.

Доведемо, що ряд збіжний при .

Для будь-якого , існує таке , що при , звідси виходить, що

, що й треба було довести

Інтегральна ознака Коші.

Таким чином, якщо ряд збіжний, то збіжним є і невласний інтеграл

Отже, розглянутий вище ряд та невласний інтеграл першого роду збіжні чи розбіжні одночасно.