4.5. Корреляционный анализ

Методы корреляционного анализа позволяют количественно оценивать тесноту зависимости между параметрами. Взаимосвязи между параметрами могут быть:

- функциональными (однозначными);

- статистическими, при которых изменение одной из величин меняет среднее значение другой.

Экспериментальные данные , на которых основывается корреляционный анализ, должны включать сочетания значений величин, между которыми устанавливается теснота взаимосвязи.

Например, при установлении тесноты взаимосвязи между фактором x и выходным параметром y приближенная линейная зависимость может быть аппроксимирована уравнением регрессии

,

где - коэффициент корреляции;

- корреляционный момент.

Величина ошибки, возникающей при аппроксимации зависимости линейным выражением, определяется остаточной дисперсией

.

Для оценки тесноты нелинейной взаимосвязи между параметрами используют корреляционное отношение

,

где - межфакторное среднеквадратическое отклонение; - среднеквадратическое отклонение результатов измерения.

При имеет место линейная зависимость между параметрами.

Методы корреляционного анализа предполагают оценку частных, парных коэффициентов корреляции, а также оценку коэффициента множественной корреляции.

Для расчета коэффициентов корреляции целесообразно использовать корреляционную матрицу [75]

.

Частные коэффициенты корреляции определяют тесноту связи между одним из влияющих факторов и выходной функцией, по сути, они являются коэффициентами чувствительности выходной функции к отдельным влияющим факторам. Использование статистических подходов к расчету частного коэффициента корреляции предполагает его оценку с помощью выражения

.

Парный коэффициент корреляции определяет тесноту взаимосвязи между влияющими факторами

.

Коэффициент множественной корреляции определяет тесноту взаимосвязи между несколькими факторами и выходной функцией

или

где p – количество влияющих факторов; n- количество экспериментальных значений; - расчетное значение выходной характеристики; - среднее арифметическое экспериментальных значений выходной характеристики; D – определитель корреляционной матрицы; D­₁₁- определитель матрицы, образованной вычеркиванием первой строки и первого столбца.

Например, если рассматривается влияние двух факторов на выходную функцию, корреляционная матрица может быть представлена как

.

Проведя стандартные построения, можно рассчитать определитель матрицы

,

а также определитель

.

Таким образом

.

Величина называется множественным коэффициентом детерминации, который показывает, какая часть дисперсии выходной функции определяется изменением сочетаний выбранных факторов.

Коэффициент корреляции, определяющий тесноту взаимного влияния двух факторов на выходную характеристику, называется совокупным коэффициентом корреляции

где , , - определители матриц, образованных вычеркиванием соответствующих строк и столбцов.

Например, совокупный коэффициент корреляции, определяющий степень влияния двух факторов на выходную функцию, может быть определен так

При большом числе экспериментальных данных целесообразно использовать корреляционные таблицы, а для удобства анализа результатов удобно, если эти таблицы оформлены, например, в формате Excel.